不等式证明及其运用-毕业论文

　本 科 毕 业 设 计 （ 论 文 ）

　）

　 题

　目：

　 不等式的证明及其运用

　 专

　业：

　 数学与应用数学

　 班

　级：

　 数学与应用数学

　 姓

　名：

　学

　号：

　指导教师：

　职

　称：

　完成日期：

　 不等式证明及其运用

　摘要：不等式证明及其应用在数学中有着不可或缺作用和地位，从初等数学到高等数学，不等式一直同我们形影不离，它的应用范围非常广泛，是数学教学容重要组成部分。在不等式的证明过程中需要用到诸多的数学思想，结合了许多重要的数学内容，本篇论文主要介绍几个著名不等式之间证明，运用，以及联系，帮助大家区分解决如何合理有效的运用这些不等式来达到自己所想要的预期效果。这几个不等式也是我们经常在学习中所要用的，具体的来说，就是通过凸函数的相关定义及其性质，进而引入Jensen 不等式，由 Jensen 不等式推导所要的 holder 不等式，从 holder 不等式中我们看出，只要稍加变形就是大家广为熟知的柯西不等式。而柯西不等式是本篇论文讨论的重点内容，我们将着重讨论柯西不等式的几种主要表现形式及相关的证明，应用举例等等。在此之后我们还将通过柯西不等式推导著名的均值不等式，从均值不等式回到 Jensen 不等式的相关内容。至此，为本篇论文所论述的重要内容。

　 关键词：凸函数；不等式；

　Inequality proof and its application

　Abstract ：Inequality proof and its application in mathematics has a indispensable role and status, from elementary mathematics to higher mathematics, inequality has been and we were like peas and carrots, its application range is very wide, is an important part of the capacity of mathematics teaching. In the inequality proof process need to use many mathematical thought, combined with many important mathematical content, this paper mainly introduces several famous between inequality proof, use, and contact, help you distinguish between solve how to reasonably and effectively use the inequality to achieve their desired expected effect. These a few inequality is we often in the study will use, concrete, it is through the convex function related definition and nature, and then introduce Jensen inequality, Jensen inequality is derived by the holder inequality, from holder inequality we see, as long as everyone is a widely known as the deformation of Cauchy inequality. And Cauchy inequality is discussed in this paper the key content, we will mainly discuss the Cauchy inequality several main forms and relevant proof, examples of application and so on. After that we will through the Cauchy inequality is famous mean inequality, from mean inequality back to Jensen inequality related content. So far, this paper discusses the important content.

　 Keywords:

　convex functions; Inequality;

　目录

　前言

　.................................................................................................................................................................... 4 1 凸函数的性质及其应用

　.................................................................................................................... 5 1.1 凸函的定义及性质

　................................................................................................................... 5 1.2 由 Jensen 不等式推导 holder 不等式的相关证明

　...................... 7

　2 柯西不等式

　............................................................................................................................................... 9 2.1 柯西（Cauchy）不等式

　........................................................................................................ 9 2.1.1 柯西不等式几何证明

　......................................................................................................... 9 2.1.2 柯西不等式的主要形式

　................................................................................................... 10 2.2 柯西不等式的应用举例

　................................................... 14

　2.2.1 应用柯西不等式求最值

　................................................................................................... 14 2.2.2 柯西不等式推导点到直线的距离公式 ........................................................................ 15 2.2.3 柯西不等式求解有关三角形的问题

　..................................................................... - 15 -5 2.2.4 由柯西不等式求解方程组

　............................................................................................. 16 2.2.5 由柯西不等式求解有关三角函数不等式问题

　......................................................... 17 2.3 由柯西不等式推导均值不等式的部分相关证明

　................................................. 18 3 均值不等式的应用

　............................................................................................................................. 19 3.1 均值不等式的应用举例

　...................................................................................................... 19 3.2 由均值不等式推导 Jensen 不等式的个例

　............................................................. 22 致谢

　.................................................................................................................................................................. 23 参考文献

　....................................................................................................................................................... 24

　前言

　 数学不等式的研究首先从欧洲国家兴起, 直到 17 世纪以后，不等式的理论才逐渐发展起来，成为数学基础理论的一个重要组成部分。自从著名数学家 H. Hardy,J. E. Little wood 和 G. Pl ya 的著作 Inequalities 由 Cambridge University

　Press 于 1934 年出版以来, 数学不等式理论及其应用的研究正式登场, 成为一门新兴的数学学科, 从此不等式不再是一些零星散乱的、孤立的公式综合, 它已发展成为一套系统的科学理论。

　20 世纪 80 年代以来在中国大地上出现了研究不等式热潮。

　杨路等教授对几何不等式研究的一系列开创性工作，将我国几何不等式的研究推向高潮；在代数不等式方面，王挽澜教授对 Fan ky 不等式的深人研究达到国际领先水平;祁锋教授和他所领导的研究群体在平均不等式及其他不等式方面取得了大量而系统的前沿研究成果；对分析不等式，胡克教授于 1981 年发表在《中国科学》上的论文《一个不等式及其若干应用》针对 Holder 不等式的缺陷提出一个全新的不等式，被美国数学评论称之为"一个杰出的非凡的新的不等式"，现在称之为胡克(HK)不等式。胡克教授对这个不等式及其应用作了系统而深刻的研究。

　20 世纪 90 年代以来，我国一大批学者如杨必成，徐利治教授等对不等式及其证明方法与研究方面取得了举世瞩目的成果。由于这些结果在理论和实际运用方面都有重大意义，引起一系列广泛研究，当中取得各式各样的进展，成果在众多报刊杂志上被发表。

　 目前我国关于数学不等式理论及其应用的研究也有较丰富的发展成果。例如匡继昌先生的专著《常用不等式》一书由于供不应求 。第二本较有影响的专著是王松桂和贾忠贞合著的《矩阵论中不等式》。除此之外,国内还有一个不等式研究小组比较活跃 , 主办一个《不等式研究通讯》的内部交流刊物 , 数学家杨路先生任顾问。

　 不等式不但是证明在自然学科和人文社会学科以至我们的日常生活中的应用都在不断的深化和发展，而且是研究高等数学不可或缺的一项重要内容，无论是在证明还是计算中经常用到的且非常重要的工具，同时也是数学分析中主要研究的问题之一，可以说不等式的研究对数学分析发展起着巨大推动作用。不等式的研究主要包括以下四个方面，推广和改进现有的不等式，建立新的不等式，扩大不等式的应用范围，探索不等式的证明方法。本文主要探讨几个著名不等式之间的内在联系，通过他们的联系探索不等式的证明方法。本人通过收集整理资料发现，由于不等式分布范围之广，大多学科都有涉猎，但是很少有

　给出以我们现阶段所学的这些著名不等式为文章的主要脉络或是零散的给出个别著名不等式，展开挖掘它们的内在联系，基于这个前提，因此撰写了本篇论文。

　 回顾数学学习历程，不等式的证明问题，由于题型多变、方法多样、技巧性强，在证明不等式前，往往需要依据题设和特征不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点，通过揭示问题的本质特征，使得难解性问题转化为可解性问题。因此熟练掌握不等式证明的几种方法并能灵活运用常用的证明方法，对以后的学习有着非常重要的意义。

　 1 凸函数的性质及其应用 1.1 凸函的定义及性质

　 定义 1

　设   x f 是定义在闭区间   b a, 上的函数，若对任意 x ， y   b a,  和任意   1 , 0   ，有           y f x f y x f          1 1

　则称 f 为   b a, 上的凸函数.反之，如果有           y f x f y x f          1 1

　 则称 f 为   b a, 上的凹函数.

　 性质 1

　设   x f 为区间 I 上的二阶可导函数，则在 I 上   x f 为凸（凹）函数的充分必要条件

　 0 ) (   xf （ I x x f     , 0 ) ( ）

　例 例 1 1

　A ， B ， C 为△ ABC 的三个角，证明：

　323sin sin sin    C B A

　证

　设 x x f sin ) (  ，所以有

　 0 sin ) (      x x f

　所以 x sin 是上凸函数． 若 C B A , , 是△ ABC 的三个角，则有

　) (31) (31) (313C f B f A fC B Af       即

　C B AC B Asin31sin31sin313sin     因为

　    C B A

　所以

　233sin sin31sin31sin31   C B A

　323sin sin sin    C B A

　同理可以证明

　23cos cos cos    C B A

　 例 例 2

　证明不等式  3c b ac b aabc c b a  其中 a，b，c 均为正数。  3

　 方法一

　证

　设 . 0 , ln ) (   x x x x f 由 ) (x f 的一阶和二阶导数

　 xx f x x f1) ( , 1 ln ) (      可见， 不等式有 时为严格凸函数。依 在 ensen 0 ln ) ( J x x x x f  

　 )) ( ) ( ) ( (31)3( c f b f a fc b af     从而

　) ln ln ln (313ln3c c b b a ac b a c b a      即

　c b a c b ac b ac b a  )3(

　 又因 33c b aabc  ，所以  3c b ac b aabc c b a 

　 这个题目还有一种较为简单的做法就是比较法

　 方法二

　证

　由于不等式关于 , , a b c 的对称性，不妨设 0    c b a ,

　因为

　 . 13 3 33    c a c b b ac b ac b acacbbaabcc b a

　故原不等式得证。

　我们将定义拓展为一般情形，即得到

　（ 詹 森 （ n Jensen ）

　不 等 式 ）

　若   f x 在   , a b 为 凸 函 数 ， 则 对 于 任 意  b a x i ,  , 0 i     1,2, , i n  ,11nii,有  1 1n ni i i ii if x f x        例 例 3

　已知 0 ix

　) , 3 , 2 , 1 ( n i   ， 2  n ， 12 1    nx x x

　求证：n nnn nn nx x x) 1 ( )11 ( )11 ( )11 (2 1         .

　证

　设nxx f )11 ( ) (   ，易知

　 时为凹函数， 在 0 ) (  x x f 所以由琴声不等式可得

　 ) ( ) ( ) (2 1 nx f x f x f     ) (2 1nx x xnfn   =nn nnnf ) 1 ( )1(  

　即

　 n nnn nn nx x x) 1 ( )11 ( )11 ( )11 (2 1         成立，

　等号成立当且仅当 时取到nx x x   2 1.

　 1.2 由 由 Jensen 不等式推导 holder 不等式的相关证明

　定义

　有 ， 设 , ) , 2 , 1 ( , a i n i b i  

　 1 11 1 1 1n n np qp qi i i ii iab a b              11 1, 1 , 1    q pq p 其中

　我们把这样的不等式称作 holder 不等式.

　证法一

　令   ln f x x  ， 则  210 f xx    ， 所 以  f x 在   0, 为 凹 函 数 ， 则 对 于 任 意  , 0 1,2, ,i i x y i n   ,1 11p q  由 Jensen 不等式可知

　 1 1ln ln lni ii ix yx yp q p q     

　从而可得

　1 1p q i ii ix yx yp q 

　令

　 1 1,p qi ii i n np qi ii ia bx ya b    则

　 1 11 11 11 11 11ni i n np q i ii ii i n np qp qi ii iabx yx yp qa b                 整理后即得到 holder 不等式

　1 11 1 1 1n n np qp qi i i ii iab a b              证法二  5 q pb x a x xq pq p b         2 1, , ln , 11 1, 1 , 1 , 0 , 0 a 令 为凸函数 由上式证明可知 设

　) ln( ) ln( ) ln( ,1,12 2 1 1 2 2 1 1 2 1x x x xq p             代入 ，则有

　) ln(1) ln(1) ln(q pq pbqap qbpa    

　1 11 11 11 11 1, , ,( ) ( )1 1( ) )p qk kn np q p qi ii ip qk k k kn nn np qp q p qi ii ii ii ia b a bab a bp qa ba b a babp qa ba b           于是 令得（ 加 时的不等式两端分别相 ， ，再对 （ 两端同时乘以 n k b aniq qinip pi   , 2 , 1 ) ) (1111

　 得

　     niq qinip pi iniib a b a11111) )（ （

　 由 holder 不等式我们可以看出当 西不等式 时就是我们所熟知的柯 2  q p .

　 2 柯西不等式 2.1 柯西（Cauchy ）不等式  1 1 2.1.1 柯西不等式几何证明

　柯西不等式在数学中的用途非常广泛且十分重要，我们在对柯西不等式有个概括性了解之前，有必要先对柯西不等式做一个直观的了解，现在就对柯西不等式的二维、三维情况做出简单的几何解释。

　（1）二维形式 2 2 2 2 2( )( ) ( ) a b c d ac bd    

　 yxQ(c,d)P(a,b)O

　 图 2-1 如图，可知线段 OP ， OQ 及 PQ 的长度分别是

　 2 2 2 2 2 2, , ( ) ( ) O P a b O Q c d P Q a c b d        

　 表示 OP 与 OQ 的夹角。由余弦定理，有 2 2 22 cos PQ OP OQ OP OQ     

　将 OP ， OQ ， PQ 的代入，得到2 2 2 2cosac bda b c d   而20 cos 1    ，故有222 2 2 2( )cos 1( )( )ac bda b c d   即

　2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) a b c d a c b d    

　这就是柯西不等式的二维形式。

　当且仅当2cos 1   ，即  是零或平角，亦即当且仅当 , , O P Q 在同一条直线上时等号成立。

　 （2）三维形式 2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( )( ) ( ) a a a b b b ab a b a b       

　对于三维情形，设1 2 3 1 2 3( , , ), ( , , ) P a a a Q b b b 是不同于原点 (0,0,0) O 的两个点，则 OP 与OQ 之间的夹角  的余弦有

　 1 1 2 2 3 32 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3cosab a b a ba a a b b b      又因为2cos 1   ，得到柯西不等式的三维形式

　 2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( )( ) ( ) a a a b b b ab a b a b       

　 当且仅当 , , O P Q 三点共线时，等号成立；此时只要这里的1 2 3, , b b b 都不是零，就有3 1 21 2 3a a ab b b 

　2 2.1.2 柯西不等式的主要形式

　是任意实数，则 设na a a 2 1 ,

　  22 2 1 1 n n ba b a b a        2 22212 2221 k kb b b a a a          ，等号当且仅i ika b  时成立（k为常数， n i  2 , 1  ）时成立. 方法一  6 证

　构造二次函数

　      222 221 1) (n nb x a b x a b x a x f        

　=      2 2 2 2 21 2 1 1 2 2 1 22n nn n n na a a x ab a b a b x b b b           

　2 21 20nna a a    

　     22 2 2 21 1 2 2 1 2 1 24 4 0n nn n n nab a b a b a a a b b b             

　  0 f x   恒成立 即

　    22 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2n nn n n nab a b a b a a a b b b          

　当且仅当   0 1,2i ia x b i n    ，即 1 21 2nna a ab b b  

　时等号成立

　方法二

　证

　 运用数学归纳法当 不等式成立 ）

　，有（ , 1212121 1b a b a n  

　当2 2 1 12222222122 2 1 12 ) ( , 2 b a b a b a b a b a b a n      时

　212222212222212122212221) ( b a b a b a b a b b a a       ）

　（

　又因为

　, 22 2 1 121222221b a b a b a b a   所以有      2221222122 2 1 1b b a a b a b a    

　当且仅当 2211baba

　时等号成立. ， 时不等式成立 假设 k n

　 ) )( ( ) (2 22212 222122 2 1 1 k k k kb b b a a a b a b a b a        

　当且仅当 时等号成立nnbababa  2211. 时， 当 1   k n

　) )( () )( () )( () ( 2 ) )( () ( 2 ) () (2 22212 2221212 2221212 22212121212 212 212121212 22212 22212121 2 2 1 1 1 12 22212 22212121 2 2 1 1 1 122 2 1 121 1 2 2 1 1n nk k k kk k k k k k k k k kk k k k k k k kk k k k k k k kk k k kb b b a a ab b b b a a a ab a a b b a a b b a b b b a a ab a b a b a b a b a b b b a a ab a b a b a b a b a b a b a b ab a b a b a b a                                                      当且仅当 时等号成立112211   kkkkbabababa 所以

　1   k n

　时不等式成立

　 除此之外柯西不等式还有其他两种主要表述形式

　（1）当 0   时，式显然成立。以下设 0   .令 t 是一个实变数，作向量    t  

　 记

　   ) , () , cos( 

　 （1）

　由（1）可知，不论 t 取何值，一定有 0 ) , ( ) , (            t t

　即

　0 ) , ( ) , ( 2 ) , (2   t          

　 （2）

　取) , () , (      t 代入（2）式，得 0) , () , () , (2        即

　) , )( , ( ) , (2       

　两边开方便得      ）

　， （

　当   ,线性相关时，等号显然成立。反过来，如果等号成立，由以上证明过程可以看出，或者 线性相关 ，也就是说 或者       , 0) , () , (- , 0   。  8

　（2）柯西不等式的三角形式

　       niiniinii ib a b a12121212121) ( ) ( ) (

　当且仅当i ikb a  时等式成立.

　证

　 因为inii i inii inii ib b a a b a b a        1 1 12) ( ) ( ) (nii ib a12) (

　 由柯西不等式211221 1) ( ) ( ) (      niinii i inii ia b a a b a

　 （1）

　211221 1) ( ) ( ) (      niinii i inii ib b a b b a

　 （2）

　当且仅当i ikb a  时等式成立，由（1）（2）得

　         ninii inii inii ib a b a b a1 1212212212121) ( ) ( ) ( ) (

　 所以       niiniinii ib a b a12121212121) ( ) ( ) (

　当且仅当i ikb a  时等式成立.

　(3)积分形式的柯西不等式  3 定理

　设 f 和 g 是在 [ , ] a b 上的实可积函数，则

　 2 2 2( ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) )b b ba a af x g x d x f x d x g x d x    当且仅当 f 和 g 是线性相关函数时等式成立. 证

　对任意实数 t ,有 2( ( ) ( )) 0batf x g x dx  

　 即

　2 2 2( ) 2 ( ) ( ) ( ) 0b b ba a at f x dx t f x g x dx g x dx     

　 2 2 2(2 ( ) ( ) ) 4( ( ) ) ( ( ) ) 0b b ba a af x g x dx f x dx g x dx       所以

　即

　2 2 2( ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) )b b ba a af x g x dx f x dx g x dx     这个不等式也称为柯西—施瓦茨不等式。

　这个不等式还可以这样证明  8

　 引入定义在闭区间   b a, 上的所有实连续函数所成的空间   b a C , 中，对于函数

　) ( ), ( x g x f 定义内积   dx x g x f x g x fba  ) ( ) ( ) ( ), (

　这样定义出来的   b a C , 构成-欧几里得空间

　 根据以上定义结合      ）

　， （ 我们可以得出 2 2 2( ( ) ( ) ) ( ( ) )( ( ) )b b ba a af x g x dx f x dx g x dx    2.2 柯西不等式的应用举例 1 2.2.1 应用柯西不等式求最值

　例 例 1 1

　设实数 的最大值。

　求 满足 y x p y x y x     2 , 6 2 3 ,2 2   6 解

　因为 6 ) 2 ( ) 3 ( , 6 2 32 2 2 2    y x y x 即 ，由柯西不等式， y x y x p 2213322      11 6611) 2 ( ) 3 ( )21( )32(2 2 2 2       y x

　等号成立当且仅当 时成立。

　及 6 2 3 221, 3322 2    y x y k x k

　113,114  y x 解得 ，当 11 2 ,113,114取最大值 y x p y x     .

　 例 例 2 2 . , cos sin 是常数 的极值，其中 求函数 b a x b x a y  

　 解

　有柯西不等式有

　 2 2 2 2 2 2 2 2) cos )(sin ( ) cos sin ( b a x x b a x b x a y       

　 所以有

　 2 2 2 2b a y b a     

　 . cos sin) ( arctancos sin2 2 2 2b a b a x b x a yz k kbaxbxax       ，极大值 有极小值 函数时， 时，即 当 

　2 2.2.2 柯西不等式推导点到直线的距离公式  7

　已知点  0 0 0, x y  为直线外的一点及直线 : l 0 x y C    

　 2 20   

　求点0p 到直线 l 的距离。

　解

　设点1p 是直线 l 上的任意一点， 记

　 0 x x C    

　（1）

　    2 20 1 0 1 0 1p p x x y y    

　（2）

　 点0 1p p 两点间的距离0 1p p 就是点0p 到直线 l 的距离等价于（2）有最小值 由西不等式有        2 22 20 1 0 1 0 1 0 1x x y y x x y y          

　=  0 0 1 1x y C x y C       

　由（1）（2）得 2 20 1 0 0p p x y C       

　 即

　 0 00 12 2x y Cp p   

　 （3）

　当且仅当

　   0 1 0 1: y y x x   0 1p p l 

　（3）式取等号 即点到直线的距离公式 0 00 12 2x y Cp p   

　3 2.2.3 柯西不等式求解有关三角形的问题  6

　（1)

　我们引用第二章的例子稍加变形来说明 .23 3sin sin sin23 3- , C B A      nC nB nA ABC 求证：

　的三个内角 是三角形 、 、 已知

　证

　由柯西不等式有 ) sin sin )(sin 1 1 1 ( ) sin 1 sin 1 sin 1 ( ) sin sin (sin2 2 2 2 2 2 2 2nC nB nA nC nB nA nC nB nA             即 ) sin sin (sin 3 ) sin sin (sin2 2 2 2nC nB nA nC nB nA     

　（1）

　因为

　22 cos 122 cos 1cos 1 sin sin sin2 2 2 2nC nBnA nC nB nA    

　）

　（故）

　（）

　（）

　（2 ) cos( cos 2sin sin sincos cos 2) cos( cos cos 2) cos( cos cos 2) 2 cos 2 (cos21cos 222 2 22222nC nB AnC nB nAnC nB nAnC nB nC nB nAnC nB nC nB nAnC nB nA                   ）

　（ 所以又因为349412 cos cos 22) cos 1 ( cos2) cos 1 ( cos 2 ) cos( cos 2222 2            nA AnA nAnA nA nC nB A 将（3）代入（2）得 ）

　（449sin sin sin2 2 2   nC nB nA

　将（4）代入（1）得493 ) sin sin (sin2    nC nB nA

　23 3sin sin sin23 3     nC nB nA 所以

　(2) 设 p 是 ABC  内的一点， z y x , , 是 p 到三边 a,b,c 的距离，R 是 ABC  外接圆的半径。证明 2 2 221c b aRz y x       6 证

　 由柯西不等式，得cczbbyaax z y x1 1 1       

　c b acz by ax1 1 1     

　RabcRabcS cz by ax ABC S2 42 2        的面积， 为 记

　 2 2 221212c b aRca bc abRabcca bc abRabcz y x          得 故不等式成立.

　 2.2.4 由柯西不等式求解方程组

　求解方程组

　    14 3 212 2 2z y xz y x

　解

　记方程

　     ）

　（）

　（2 14 3 21 12 2 2z y xz y x ) 3 ( 9 4 1 3 22 2 2 2）

　（ ）

　（ ）

　（ 因为 z y x z y x        

　结合 （1）（2）两式 得

　 14 9 4 1 3 22 2 2 2         ）

　（ ）

　（ ）

　（ z y x z y x

　所以有

　z y x3 2 1 

　得

　1414 3,714,1414   z y x

　2.2.5 由柯西不等式求解有关三角函数不等式问题

　例 设 1 sin sin sin ),2, 0 ( , ,2 2 2         且  10

　求证：

　1sinsinsinsinsinsin3 3 3   在证明该题之前我们先引入柯西不等式的推论 推论

　是两列正数， 和n ny y y x x x  2 1 2 1 ,则有

　nkknkknkkkyxyx12112) () (

　证

　因为    sin sin) (sinsin sin) (sinsin sin) (sinsinsinsinsinsinsin2 2 2 2 2 2 3 3 3    

　由柯西不等式的推论得           sin sin sin sin sin sin) sin sin (sinsin sin) (sinsin sin) (sinsin sin) (sin2 2 2 2 2 2 2 2 2 2    

　       sin sin sin sin sin sin1 

　又因为

　         sin sin sin sin sin sin sin sin sin2 2 2    

　已知 1 sin sin sin2 2 2     

　所以 1 sin sin sin sin sin sin 0          

　 1sinsinsinsinsinsin3 3 3  

　 该题得证.

　通过以上例子，我们可以看出柯西不等式的应用是相当广泛的，对于在不等式中涉及到平方和的积，或是积的平方和问题时，我们往往可以通过条件或是有条件转变而来运用柯西不等式来解决问题。

　 2.3 由柯西不等式推导均值不等式的部分相关证明

　 在推导均值不等式前我们先了解下均值不等式 设由 n 个正数na a a ， ，2 1 ,，则 na a ana a aa a aa a annnnn2 2121 1 1 12 12 11 1 1            常记为n n n nQ A G H   

　先证n nQ A 

　由柯西不等式

　     22 222122 222122 2 1 1 n n n nb b b a a a b a b a b a             

　令 12 1   nb b b

　则有    2 222122 1 n na a a n a a a         

　两边除以2n 得na a ana a an n2 222122 1        两边同时开方 得 na a ana a an2 2121 1 1 1      

　现在来证  6n nA G  .由2 12 122 12, 0 ) ( a aa aa a   得 ，当且仅当2 1a a  时 等号成立。所以当 2  n 时，命题成立. 假设 k n 时命题成立，现在来证 1   k n 时成立. 当111 2 1     ka a a aA k nk k时，令 ，则分子分母同乘以12 kk得

　 11 2 1   ka a a aAk k =kka a a a kka a a a kk k k k21) )( 1 (1) )( 1 (1 2 1 1 2 1           kA k a a a ak k2) 1 (1 2 1      2) 1 (1 2 1kA k aka a ak k    211 2 1kA A A aka a akk k            

　211 2 1kkkknA a a a a  

　kkkknA a a a a11 2 1   

　即 11 2 12   kk kkA a a a a A ， 则 . ,1 2 111 2 1时，等号成立 当且仅当    kkk ka a a a a a a A . 所以有 1   k n ，成立.

　3 均值不等式的应用 3.1 均值不等式的应用举例 在运用均值不等式前，我们应该要知道均值不等式的所谓一“一正，二定，三相等”的原则，即变量都是正数，其次平方和或积为正值，最后含变数的个项均相等，取得最值。我们现在通过一个例子简单的说明下：

　（1）均值不等式求最值

　 例

　11 ) 1 ( 3 ) 1 (15 52 2    xx xxx xy

　2 25 5 ( 1) 3( 1) 11 111 311 0 112 1 3 5101 0 11( 1) ( ( )) 2111 -21y 12(- 1] [5, )( ) ( 0,( )x x x xyx xxxx xy xxxx xxxxxxby af x c a bf x                                当 时，即 时（ ）当且仅当 时，等号成立当 时所以则当且仅当 时，等号成立所以该函数的值域 ，注 遇到分式求最值时，化 0)( ) f x 恒正或恒负。

　 （2）均值不等式易错题型

　在求解均值不等式相关问题的时候，往往会忽视等号成立的条件，下面我们就来他通过一个例题简要分析一下。

　 的最小值。

　）

　）和（ （ ）

　分别求（ 且 设2 2)1(1 1 1, 1 , 0 , 0bbaabbaa b a b a          

　 这道题往往容易犯这样的错误，

　错误解法：

　. 4 )1(121, 21的最小值为 ）

　（bbaabbaa     

　分析

　 这里之所以犯这样的错误是因为特忽略了已知条件和等号成立的条件。

　正确做法  6 解 解

　21 1 1 1         abababbaababbbaa ）

　（ ）

　（

　.225425)1(1)1(121,2254252 )1)(1( 2 )1(1)1(1.21425) ( 217 2) 16 (17 2)161161161( 22 22 22 21715 64171616116和 分别为的最小值 ）

　及（ ）

　（ 所以时成立。

　等号当且仅当）

　（ 因为最小值 ）

　现在来求（时成立 等号当且仅当相加 个 有bbaabbaab abbaabbaabbaab aababababab ab ababab                        

　（3）运用均值不等式及相关的变形求解不等式（提高题）

　 例

　设 a、b、c、dR ,求证4 42 2 2 23d c b a dab cda bcd abc       6

　 因为

　)2 2(214b acdd cabdab cda bcd abc     

　4 44 44 4. )4(4 22 24 2 22)2(2)2(212 2 2 232 2 2 23322 2d c b a dab cda bcd abcd c b a d c b ad c b a dab cda bcd abcd c b ad c b ad c b ad c b a d c b ab a d c d c b a                    所以又即

　3.2 由均值不等式推导 n Jensen 不等式的个例

　将均值不等式 ) 2 , 1 , 0 (2 12 1n i xnx x xx x xinnn      其中 ，

　两端取对数

　nx x xa a annn   2 12 1ln ln1

　 由观察可设

　 0 , ln ) (   x x x f 其中

　)) ( ) ( ) ( (1) (1 1 12 1x f x f x fn nx x xfn      所以有

　 ）上的凹函数 为区间（ 可知 由 其中       , 0 ln ) ( 0 ) (1) ( ,1) ("2" "x x f x fxx fxx f

　上式即为我们所证得的 Jensen 不等式 .

　致谢 首先我要感谢我的指导老师，在他的悉心，耐心指导下，我的论文才得以完成。在完成论文的过程中，无论是在论文的编写、资料的收集和开题报告的书写等方面，老师给我很大的帮助。老师细心耐心的教导，严谨的治学态度。让我铭记在心。

　其次，我还要感谢四年的大学生活，感谢 学院对我的培养，感谢所有教导过我的老师们，没有你们的培养和帮助，就没有现在的我，最后我要感谢我的父母，感谢他们的支持和帮助，让我安心完成学业。

　最后，向在百忙之中抽出时间评审本文的各位专家表示最衷心的感谢！

　参考文献

　[1]徐鸿迟，柯西不等式的微小改动 [J]，2008，（8），90-95.

　[2]南山，柯西不等式与排序不等式[M]，第一版，湖南教育出版社，2011,11-15

　 [3]华东师范大学数学系,数学分析上）[M]，（第三版,高等教育出版社,2001.

　 [4]华东师范大学数学系,数学分析（下）[M],第三版,高等教育出版社,2001.

　 [5]张天德，韩振来，数学分析同步辅导及习题精解（上）[M]，第三版，天津科学技术出版社，

　2009.

　 [6]叶立军，初等数学研究[M]，第一版，华东师范大学出版社，2008.

　[7]吕林根，解析几何[M]，第四版，高等教育出版社，2010，36-38.

　[8]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组，高等代数[M]，第三版，高等教育出版社，2003.

　[9]陈文灯，高等数学复习指导[M]，北京理工大学出版社, 1997 ，84-86.

　[10]徐图平，柯西不等式的两个推论及其应用[J]，2006，（8），70-71

　[11]张天德，韩振来 ，数学分析同步辅导及习题精解（下），第三版，天津科学技术出版社，2009.