通用的矩阵运算类的设计

(1.内蒙古财政信息中心；2.呼和浩特民族学院 公共管理系，内蒙古 呼和浩 特 010000)
摘 要：文章利用c++的基本特性和相关技术，结合数值 计算方法，充分考虑运算效率的前提下，设计并实现了一个通用的、可扩展性强调矩阵运算 类。
关键词：矩阵运算；矩阵运算类；设计；通用
中图分类号：O151.21  文献标识码：A  文章编号：1007—6921(2009)20—0085—02

在电子技术、信息技术等诸多领域，均涉及矩阵运算。目前很多工具和软件都提供矩阵运算 工具，比如mathematica、matlab和maple等等。但这些工具和软件的运算效率都很低，以ma tlab为例，matlab集成环境为我们提供了一个很方便的科学和工程计算平台，然而，在很多 情况下，我们需要在Visual Studio等环境下开发自己的应用程序。尽管在c++环境中能够调 用matlab数学库的资源，但必须在运行环境中安装matlab。这样一来，很难写出脱离matlab 的独立的应用程序。再者，matlab与c++毕竟是两类隔离的开发环境，它们之间不可能真正 做到“无缝链接”，在c++中调用matlab，要通过matlab引擎在两个环境中往返传递数据， 这样势必降低程序的运行效率。

数值计算是计算机应用的永恒话题。在各种数值计算中，内存动态分配形成的矩阵和向量成 为一种基本的数据类型，使用矩阵和向量就像使用c或c++中的基本数据类型char，int，dou ble一样。

目前基于c++开发的矩阵运算库在网络或相关书籍上均可找到，但由于源代码的可读性和可 扩展性较差，如果想在自己的应用程序中使用矩阵运算的话，最好的方法将是自己编写可控 的代码。本文从实际应用出发，基于c++的面向对象特性，结合相应工程数学的知识，设计 并实现了一种通用的矩阵运算类。通过封装后，该通用的矩阵运算类就像基本数据类型一样 ，使用方便且易于扩展。
1 通用的矩阵运算类

通用的矩阵运算类包括相应的类构造函数，类成员函数和运算符重载。能提供常用的矩阵定 义式和运算。矩阵运算类主要包括赋值、取绝对值、数乘、矩阵相乘、求逆、求行列式、求 转置等操作。其中矩阵的赋值有3种方式：①直接赋值，②矩阵给矩阵赋值，③向量给矩阵 赋值。
2 关键问题
2.1 矩阵求逆

文中矩阵的求逆是通过矩阵的初等变换来实现的。其过程可简单表示为

其中A为所要变换的原矩阵，E为单位阵，A｜E为增广矩阵。经过初等变换后增广矩阵中的A 变 为单位阵，而单位阵则变为A的逆矩阵。在此过程中需要判断增广矩阵的左侧是否等于单位 阵（即对角线元素是否为1，其他元素是否为0）。由于矩阵元素的数据类型为double，该类 型在计算机中无法得到绝对的等于0或1。所以需要通过下式来判断增广矩阵左侧是否为单位 阵

｜a_ij｜＜ε，则a_ij=0；｜a_ij-1｜＜ε,则a_ij=1

其中，a_ij为矩阵第i行、第j列的元素，ε为足够小的正数，如0.0000001，可根据所 需精度自行定，该过程在程序中的归一化函数完成的。
2.2 矩阵的元素

由于在工程应用中矩阵的元素主要是浮点数类型，本文将矩阵的元素定义为double类型。在 一些特殊的应用场合，矩阵的元素可能为整数（如图像处理领域）或复数（如DFT，FFT等） 。这种情况下可使用c++提供的template功能完成数据类型的通用化。
2.3 运算复杂度

本文涉及的矩阵运算中矩阵求逆的运算复杂度较大。为了降低复杂度，采用了列主元素Gaus s消元法。较之求逆矩阵的定义式，该方法计算复杂度大大降低，尤其当矩阵的维数增大时 效果更明显。

在矩阵运算类中，使用较多的函数调用。在实现代码的过程当中除了使用STL的algorithm外 还可以使用非标准化的Boost库，Boost库中数值计算相关的有math，rational，numeric co nversion等子库。函数调用过程中，针对短小而且调用频繁的函数声明为内联（inline）函 数。内联函数的调用语句在不同的地方出现时会增加目标代码的长度，但代码的运行效率会 很高。
3 相关源代码及说明
Matrix.h 头文件中的C++代码如下：
class Matrix : public CObject  
{
public:
double Abs(double x);                 //取绝对值函数
Matrix(int rows,int columns);      //构造函数1
Matrix( const Matrix& );              //构造函数2
Matrix& operator=( const Matrix& );   //重载运算符=
void operator+=(const Matrix &m);     //重载运算符+=
int rows() const                      //返回矩阵行
{ return[CD#*2]rows;
      }
int cols() const                      //返回矩阵列
{ 
return[CD#*2]cols;
      }
double& operator()(int row,int column)//重载运算符()
{
return[CD#*2]matrix［row*cols()+column］;
      }
bool Same[CD#*2]size(const Matrix &m)       //判断矩阵维数是否相等
{
return rows()==m.rows()&&cols()==m.cols();
      }
bool Comfortable(const Matrix &m)  //判断一个矩阵是否方阵
{
return cols()==m.rows();
}
Assign(const vector <double>  vec);   //赋向量数据类型给矩阵
void Transpose ();                    //矩阵的转置阵
void Unit(int dim);                  //初始化为dim x dim的单位阵
bool Compare(const Matrix &m1);       //比较两个矩阵是否相等
Matrix Inverse();          //矩阵的逆矩阵（采用列主元素Gauss消去法）
double Determinant();               //方阵的行列式
double Trace();                    //矩阵的迹
Matrix Dec[CD#*2]dimension();           //矩阵的降维（用于矩阵的初等变换）
void Exchange(int exch[CD#*2]row);     //矩阵的行互换（用于矩阵的初等变换）
void Normalize();                    //矩阵的归一化
～Matrix();                           //析构函数
private:
int[CD#*2]cols;
int[CD#*2]rows;
double *[CD#*2]matrix;
};
Matrix operator*(const double m1,const Matrix &m2);  
//重载运算符*  （浮点数与矩阵相乘）
Matrix operator*(Matrix  &m1,Matrix  &m2);         
//重载运算符*（矩阵与矩阵相乘）
Matrix  operator+(Matrix  &m1,Matrix  &m2); //重载运算符+
Matrix::～Matrix() //析构函数的实现
{
delete ［］[CD#*2]matrix;
}
4 结束语

文中设计的矩阵运算类实现了矩阵运算的常用功能，一些不太常用的功能还没有实现。文章 旨在提出一种通用的矩阵运算类框架，可根据不同的应用场合和领域，可扩展不同的运算。 比如矩阵的各种分解，求特征值、特征向量，求伪逆，矩阵的复数运算等。这些功能的完善 可基于上述代码运用c++的相关技术、特性和标准（如STL的generic algorithm，Boost库和 TR1组件等等）不难扩展。