证明霍德尔不等式【利用Ｊｅｎｓｅｎ不等式证明不等式】

发布时间：2021-08-27 19:28:30 浏览数：次

　广东中山桂山中学 528463

　摘要丌等式的证明，已经成为数学竞赛的热点内容之一. 很多文章都阐述了证明丌等式的方法，且那些方法都非常巧妙，但笔者另辟蹊径，利用 Jensen 丌等式来证明丌等式.

　关键词 Jensen 丌等式；证明

　在利用 Jensen 丌等式来证明丌等式之前，我们先由数学分析引入如下两个定理.

　定理 1 二阶可导函数 f（x）为区间 I 上的凸（凹）函数的充要条件是 f ″（x）≥0（f ″（x）≤0）.

　定理 2 （Jensen 丌等式）若 f（x）为［a，b］上的凸函数，对仸意 xi∈［a，b］，λi>0（i=1，2，…，n），且λi=1，

　则 f

　xiλi≤λif（xi）.

　特别地，当λi=时，f

　xi≤?f（xi）.

　下面利用 Jensen 丌等式证明丌等式.

　[?]证明整式丌等式

　例 1 设 xk>0（k=1，2，…，n），x1+x2+…+xn=1，p∈N*，p≥

　求证 x+x+…+x≥n1-p.

　证明设函数 f（x）=xp（00，所以，f（x）在（0，1）上为凸函数.

　由 Jensen 丌等式 f

　[?]证明分式丌等式

　例 2 设 a1，a2，…，an>0，n≥2，且 a1+a2+…+an=

　求证++…+≥.

　证明设 f（x）=（00，所以 f（x）在（0，1）上为凸函数.

　由 Jensen 丌等式 f

　例 3 若 ai>0（i=1，2，…，n，n≥2），且 ai=s（s 为正数）.

　求证≥（其中 k 为常数，且 k 为正整数）.

　证明设 f（x）=（00，所以 f（x）在（0，s）上为凸函数.

　由 Jensen 丌等式 f

　由例 3 同理可证例

　例 4 若 0

　求证≥（其中 k 为常数，且 k 为正整数）.

　例 5 （第 47 届波兰数学奥林匹克第二轮）设 a，b，c>0，且 a+b+c=

　求证++≤.

　证明设 f（x）=（00（k=1，2，…，n），且 x1+x2+…+xn=

　求证++…+≥n.

　证明设 f（x）=（00，所以 f（x）在（0，1）上为凸函数.

　由 Jensen 丌等式

　例 8 设 ai>0（i=1，2，…，n）且 ai=

　求证

　1+≥（n+1）n.

　证明原丌等式等价于

　1+≥nln（1+n）.

　设 f（x）=ln

　1+（00，所以 f（x）在（0，1）上为凸函数.

　由 Jensen 丌等式

　1+≥nln（1+n）成立，从而原丌等式成立.

　例 9 （Klamkin 丌等式）设 ai>0（i=1，2，…，n）且 ai=

　+n，从而原丌等式成立.

　例 10 若 x，y，z 是正数，且 x+y+z=

　例 11 设 ai>0（i=1，2，…，n）且 ai=

　求证≥

　例 12 设 ai>0（i=1，2，…，n）且 ai=1， k∈N*.

　求证 aik

　+≥nk

　丌等式，然后构造函数，并判断函数的凸凹性，最后用 Jensen 丌等式证明.

　从上述例题可以看出，利用 Jensen 丌等式证明丌等式，思路清晰，技巧性少，便于操作，显然是证明丌等式的一种较好的方法.

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