运用函数思想解决方程有解问题两条途径-陈雄伟

　中学数学研究 2009年第5期

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　运用函数思想解决方程有解问题的两条途径

　湖北省仙桃市彭场高中(433018) 陈雄伟

　 函数与方程思想是数学中的一个重要思 求出函数的值域就是所求口的取值范围．

　想，也是每年高考必考的一个思想，下面结合几

　解：由于关于z的方程x—x]=a有实个容易分离参数的例子来谈谈运用函数思想解 数解，若把x看作自变量，a看作函数值，则对决方程有解问题的两条重要的途径． 应函数a=z一[z]有意义，此函数的值域就是

　例1(2008·仙桃市高一期末考试题)方 所求a的取值范围．

　程 f( 。

　)=a 有实数解，就是两个函数 Yl=

　 因为任意一个实数必在两个相邻整数之 f(x)与Y2=a的图像有交点．根据这一观点解

　 间，所以可设z∈[竹，咒．+1)，且，l∈z，则由题答：[z]表示不超过z的最大整数，若关于X

　意知[z]=，l，z一[z]∈[O，1)，印a∈[0，1)为的方程X一[X]=a有实数解，则a的取值范围 所求．

　是

　 ．

　反思：法1构造的两个函数中的一个为分 法1：分析：先由给出的 ．，J 段函数，其定义域为R，此函数的解析式及其

　方程构造两个函数，再由方程 图像的得出比较麻烦．而法2是把z看成自变

　1 Y1=z—

　有实数解和两个函数图像有 ⋯7 r．户。尹。7⋯一 量，a看成函散值，把原方程变形成一个函数

　／

　 ，／／ 船

　’ 交点，可求出参数a的取值 一l

　 3 1

　2

　3 (即a是关于x的一个函数)形式，再利用方程

　范围． 有实数解，则对应函数有意义，从而函数的值域 解：构造Y1=z一[z]，了2=a，因为Y1=X 就是参数a的取值范围，此种方法比较简单．

　『．．．．” 例2(2008·仙桃市高一期末考试题)已

　z+1，zE[一1，0) 知关于z的方程log。(a+2。一a·4。)=0有唯 一实数解，求a的取值范围．

　一㈨={zx,．1，xEz[0∈,1[1")2)作出yl与y2的 法1：关于z的方程log。(口+扩一a·4。)

　I．27—2，∈[2，3) =0有唯一实数解甘a+2。一a·4掌=1，即

　【⋯ ⋯ 口(2。)2—2z+1一a=0有唯一实数解①，令2。

　图像如图1所示．由上图知当0≤口<1时，Y1 =t，则t>O，所以①甘口f2一t十l—a=0在t 与北有公共点，对应方程z一[z]=口有实数

　>0上有唯一实数解，即ax2一z+1一a=0② 解． ． 在z>0上有唯一实数解．由条件知底数a>0

　．‘．口的取值范围是0≤口<1． 且a≠l，则方程②为一元二次方程，且在(0，+

　法2：分析：先由给出的方程构造一个函 (20)上有唯一实数解．

　2009年第5期 中学数学研究

　(1)若方程②的两根都在(0，+oo)上，则对

　应函数f(x)=a,J72一z+1一 r与无意义，则口取函数y5r岛的值域的

　a的图像，如图2所示，于是 补集(且要满足a>O且口≠1)，从而得到a的

　有 取值范围． f△=1—4a(1一口)=0， 例3 已知两点P(0，1)和Q(1，0)，若二

　次函数y=z2+ax+3的图像与线段PlQ有交

　11>0， 图2 点，求实数a的取值范围．

　解法1：易知线段PlQ对应函数解析式为Y ．·．t

　a=-主-，．’a．=i1．一 =一z+l(0≤z≤1)，则二次函数Y=z2+黜

　～口／0．

　+3的图像与线段冈有交点兮

　(2)若方程②的一根在 二y。

　～

　O]上，则对应函数f(z)=

　xo)、 J一 惯j：+3(婚≤1)有实数解’咄+

　(0，+oo)上，另一根在(一∞， I

　D ． ～

　(口+1)z+2=0①在[0，1]上有实数解．下面分 aoc2一z+1一a如图3所示，

　两种情况讨论：

　于是有厂(O)=1一口≤0’．．．a 图3 (1)若方程①有两个相等

　≥1又a>0且口4：1，．‘．a>1． 实根，则对应函数f(x)图像

　综合(1)(2)知口的取值范围是a=-5-R a>1． 在[0，1]上与z轴相切，如图

　法2：因为关于z的方程lOga(a+2。一a· 4所示，于是有4。)=0有唯一实数解，所以a+2。一a·4。=1，

　即(1—4。)口=1一扩③有唯一实数解．若1—4。

　=0，则z=0，即无论a取何值，方程③恒有一

　解为x=0．若1—4。≠0。即z≠0，分离参数a

　得口=而1--2=寻再L2。，要使原方程有唯一实数

　根，则关于z的方程n

　 2r与或者有唯一解0

　‘

　或者无意义． 且a≠1，所以口>1． l一华，1)． 鹄卜一手

　当口2r与有唯一解。时，口2专，当口2

　r与无意义时，因为r与∈(o，1)，又口>o

　 忙篡4≥>j06(o1，(1)=口+

　，

　I∑i

　2 ， 综上所述，a的取值范围为口=告或a>1． 反思：法1是根据对应方程的根分两种情 【一3<口<1．

　况讨论，从而对应函数图像也分两种情况研究

　2．一根在[0，1]上，另

　(而许多学生却漏掉了第二种情况，即把方程在 一根在[0，1]外，则对应函数(0，+co)上有唯一实数解误认为是方程的解都

　 ，(z)=z2+(n+1)z+2图

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　 a+4≤0，．’．a≤一4． 论，此题分类讨论较复杂，学生容易考虑不周综合(1)、(2)知a的取值范围为口≤一4．

　全．而方法2采用分离参数法，利用对勾函数的解法2：由解法1知X2+(口+1)z+2=0

　 性质求出函数的值域即为参数 a 的取值范围，

　在[O，1]上有实数解，变形得纰=一(z2+z+ 方法更简捷．

　2)，因为z∈[0，1]，由该方程知X≠O，则z∈

　这三个例题的本质都是方程有实数解问

　(o，1]，所以口：一￡孥里=一(”-，-2+1)， 题．解决这类问题(容易分离参数)时，我们一般

　可利用方程有关性质结合韦达定理直接解决；

　把X看成自变量，a看成函数值，此函数的值 我们也可以利用该方程恰当地构造函数，把方

　域即为a的取值范围． 程问题转化为函数问题，利用函数知识解决．而

　由对勾函数的性质知对勾函数Y=z+詈 后一种方法又有两条途径：

　(志>0)在(O，以)上为减函数，在[以，+oo)上

　途径1：利用方程构造出一个或两个函数，

　 为增函数． 再作出对应函数的图像，由图像建立有关参数 的关系，从而求解． ． 所以对勾函数Y=z+詈在(0，1]上为减 途径2：利用方程构造出一个函数(即把z 函数，则口=一(z+专+1)在(o，1】上为增函 看成自变量，参数a看成函数值，用z的式子

　表示a)，利用函数的有关性质(如单调性等)求

　数，‘．‘0<z≤1，．。．口≤一(1+-二y+1)，即a≤一 出函数的值域，即可求出参数a的取值范围．

　 4为所求．

　简单地说，途径l是从函数的“形”上研究， 反思：本题在许多资料上都出现过，而资料 途径2是从函数的“数”上研究．

　上介绍的方法都是类似于方法1，即由两图像

　 而部分入认为把方程问题转化为函数问题 有交点问题转化为方程组有解问题，消元后再 以后，从函数的“形”上考虑应该是最筒捷的，而 转化为关于z的方程在闭区间上有解，再构造

　 这三个例子却说明从函数的“数”上考虑往往有对应函数以判别式(或以对应函数与X轴交点 时候比从函数的“形”上考虑更简单．

　个数情况)分类讨论，而第2种情况又分两类讨

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　 刍议“向量"、“三角"与“三角形"三位一体

　 浙江省乐清市白象中学(325603)黄小蓉

　 三角函数和平面向量是高中数学中的重要 sinA)，且m·疗=1．

　把这三块内容有机地整合成一个整体，互相交 (2)若揣一3，tanC．

　内容，也是高考中的重点．而三角形是初等数学 (1)求角A；

　中最重要的平面图形之一．近几年的高考经常

　 叉、互相联系，从而形成三位一体的局面．下文 分析：(1)由m一·；=1可得朽sinA—cosA

　将进行例析． 例1(06年四川高考题)已知A、B、C是

　=1，印sin(A一詈)2虿1，而一詈<A一詈<

　AA／3C三内角，m=(一1，√3)，咒=(cosA， 警，因此A一至6 -7rg，则A=5”．

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