2422与圆有关位置关系2

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　 直线和圆的位置关系

　教学内容

　1 1 ．切线长的概念．

　2 2 ．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，• • 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．

　3 3 ．三角形的内切圆及三角形内心的概念．

　教学目标

　了解切线长的概念．

　理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的应用．

　复习圆与直线的位置关系和切线的判定定理、性质定理知识迁移到切长线的概念和切线长定理，然后根据所学三角形角平分线的性质给出三角形的内切圆和三角形 的内心概念，最后应用它们解决一些实际问题．

　教学 重难点、关键

　1 1 ．重点：切线长定理及其运用．

　2 2 ．• • 难点与关键：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题．

　教学过程

　一、复习引入

　1 1 ．已知△ ABC ，作三个内角平分线，说说它具有什么性质？

　2 2 ．点和圆有几种位置关系？你能说说在这一节中应掌握几个方面的知识？

　3 3 ．直线和圆有什么位置关系？切线的判定定理和性质定理，它们如何？

　老师点评：（1 1 ）在黑板上作出△C ABC 的三条角平分线，并口述其性质：• • ①三条角平分线相交于一点；②交点到三条边的距离相等．

　（2 2 ）（口述）点和圆的位置关系有三种，点在圆内  d<r ；点在圆上  d=r ；点在圆外  d>r ；不在同一直线上的三个点确定一个圆；反证法的思想．

　（3 3 ）（口述）直线和圆的位置关系同样有三种：直线 L L 和⊙O O 相交  d<r ；直线 L L 和⊙相切  d=r ；直线 L L 和⊙O O 相离  d>r ；切线的判定定理：• • 经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线；切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．

　二、探索新知

　从上面的复习，我们可以知道，过⊙O O 上任一点 A A 都可以作一条切线，• • 并且只有一条，根据下面提出的问题操作思考并解决这个问题．

　问题：在你手中的纸上画出⊙O O ，并画出过 A A 点的唯一切线 PA ，• • 连结 PO ，• • 沿着直线O PO 将纸对折，设圆上与点 A A 重合的点为 B B ，这 时，B OB 是⊙O O 的一条半径吗？B PB 是⊙O O 的切线吗？利用图形的轴对称性，说明圆中的 A PA 与 与 PB ，∠O APO 与∠O BPO 有什么关系？

　学生分组讨论，老师抽取 3 3 ～4 4 位同学回答这个问题．

　老师点评：B OB 与 与 A OA 重叠，A OA 是半径，B OB 也就是半径了．又因为 B OB 是半径，B PB 为 为 OB•的外端，又根据折叠后的角不变，所以 B PB 是⊙O O 的又一条切线，根据轴对称性质，• • 我们很容易得到 PA=PB ，∠ APO= ∠ BPO ．

　我们把 A PA 或 或 B PB 的长，即经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，• • 叫做这点到圆的切线长．

　从上面的操作几何我们可以得到：

　从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．

　下面，我们给予逻辑证明．

　例 例 1 1 ．如图，已知 PA 、B PB 是⊙O O 的两条切线．

　BACEDOF求证：

　PA=PB ，∠ OPA= ∠ OPB ．

　证明：∵ PA 、B PB 是⊙O O 的两条切线．

　∴ OA ⊥ AP ， OB ⊥ BP

　又 又 OA=OB ， OP=OP ，

　∴ Rt △ AOP ≌ Rt △ BOP

　∴ PA=PB ，∠ OPA= ∠ OPB

　因此，我们得到切线长定理：

　从圆外一点可 以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．

　我们刚才已经复习，三角形的三条角平分线于一点，并且这个点到三条边的距离相等．

　（同刚才画的图）设交点为 I I ，那么 I I 到 到 AB 、 AC 、 BC的距离相等，如图所示，因此以点 I I 为圆心，点 I I 到 到 C BC 的距离 D ID 为半径作圆，则⊙I I 与△C ABC 的三条边都相切．

　与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，• • 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．

　例 例 2 2 ．如图，已知⊙O O 是△C ABC 的内切圆，切点为 D D 、E E 、F F ，如果 AE=1 ， CD=2 ， BF=3 ，且△C ABC 的面积为 6 6 ．求内切圆的半径 r r ．

　分析：直接求内切圆的半径有困难，由于面积是已知的，• • 因此要转化为面积法来求．就需添加辅助线，如果连结 AO 、 BO 、 CO ，就可把三角形 C ABC 分为三块，• • 那么就可解决．

　解：连结 AO 、 BO 、 CO

　∵⊙O O 是△C ABC 的内切圆且 D D 、E E 、F F 是切点．

　∴ AF=AE=1 ， BD=BF=3 ， CE=CD=2

　∴ AB=4 ， BC=5 ， AC=3

　又 ∵S △ABC =6

　∴12（ 4+5+3 ）

　r=6

　∴ r=1

　答：所求的内切圆的半径为 1 1 ．

　三、巩固练习

　四 、归纳小结（学生归纳，老师点评）

　1 1 ．圆的切线长概念；

　2 2 ．切线长定理；

　3 3 ．三角形的内切圆及内心的概念．

　五 、布置作业

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