1921正比例函数

　19.2

　一次函数 19.2.1

　正比例函数

　【知识与技能】

　1.初步理解正比例函数的概念及其图象的特征. 2.能够画出正比例函数的图象. 3.能够判断两个变量是否能够构成正比例函数关系. 4.能够利用正比例函数解决简单的数学问题. 【过程与方法】

　1.通过实例，体会建立数学模型的思想. 2.通过正比例函数图象的学习与研究，感知数形结合思想. 【情感态度】

　结合描点作图，培养学生认真、细心、严谨的学习态度. 【教学重点】正比例函数的概念、图象与性质. 【教学难点】正比例函数的特征.

　一、情境导入，初步认识 请学生预习、自学教材，并讨论课本“思考”的问题. 【答案】(1)l=2πr；(2)m=7.8V；(3)h=0.5n；(4)T=-2t. 观察这些解析式有什么共同特点？由学生讨论，教师总结. 一般地，形如 y=kx(k 是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数. 请学生列举日常生活中的正比例函数的模型，举例如下：

　(1)利率不变的情况下，利息随存款数的变化而变化. (2)某本书的单价不变，销售额随售出图书数量的变化而变化. (3)火车速度不变，行驶距离随时间的变化而变化. (4)单位千克邮价不变，邮费随邮包重量的变化而变化. 例 例 1

　已知 y=(k+1)x+k-1 是正比例函数，求 k 的值. 【分析】联想正比例函数定义可知，应用时考虑 k+1≠0，k-1=0，综合可得 k=1.

　【教学说明】这类问题看三点：(1)自变量的最高次数为 1；(2)含自变量 x 的系数 k≠0；(3)常数项为 0，三者必须同时满足. 例 例 2

　根据下列条件求函数的解析式. (1)y 与 x 2 成正比例，且 x=-2 时，y=12. (2)函数 y=(k 2 -4)x 2 +(k+1)x 是正比例函数，且 y 随 x 的增大而减小. 【分析】(1)根据正比例函数的定义，可设 y=kx 2 ，再由 x=-2，y=12 代入求得 k 值；(2)注意题中要求，及式子特点，结合定义与性质考虑. 解：(1)设 y=kx 2 (k≠0)，把 x=-2，y=12 代入得(-2) 2 ·k=12，∴k=3，即 y=3x 2 . (2)由题意得：k 2 -4=0，∴k=2 或 k=-2. 又∵y 随 x 的增大而减小，∴k+1＜0. 故 k=-2，即 y=-x. 【教学说明】(2)中含有自变量 x 的二次方，由题意知解析式应不含二次项，故令其系数为 0. 二、思考探究，获取新知 师生共同画出 y=12x，y=-12x 的图象，并鼓励学生探索图象特征，引导学生归纳的结果围绕以下几个方面：

　(1)两图象都是经过原点的直线. (2)函数 y=12x 的图象从左向右递增，经过一、三象限. (3)函数 y=-12x 的图象从左向右递减，经过二、四象限. 教师总结正比例函数的图象与性质：

　一般地，正比例函数 y=kx(k 是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，当 k＞0时，直线过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大；当 k＜0 时，直线过第二、四象限，y随 x 的增大而减小. 例 例 1

　已知正比例函数的图象过点(2m，3m)，m≠0，求这个正比例函数的解析式. 解：设正比例函数的解析式为：y=kx. 把(2m，3m)代入得 3m=k·2m，解得 k=32. ∴解析式为 y=32x. 【教学说明】正比例函数中只含有一个待定系数，只需知道一点坐标即可求得其解

　析式. 例 例 2

　已知(x 1 ,y 1 )、(x 2 ，y 2 )是直线 y=-12x 上的两点，若 x 1 ＞x 2 ，则 y 1 ，y 2 的大小关系是(

　). A.y 1 ＜y 2

　 B. y 1 ＞y 2

　 C. y 1 = y 2

　 D.不能比较 【分析】因为 y=-12x 中-12＜0，即直线 y=-12x 的函数值是随 x 的增大而减小的，所以当 x 1 ＞x 2 时，y 1 ＜y 2 ，故选 A. 【教学说明】通常我们在 x 的某一范围内取 x 1 ＜x 2 ，若点(x 1 ，y 1 )，(x 2 ，y 2 )为函数图象上的两点，当 y 1 ＜y 2 时，该函数在这个范围内 y 随 x 的增大而增大；当 y 1 ＞y 2 时，该函数在这个范围内 y 随 x 增大而减小. 三、运用新知，深化理解 1.已知正比例函数 y=(k+3)x. (1)k 为何值时，函数的图象经过一、三象限. (2)k 为何值时，y 随 x 的增大而减小. (3)k 为何值时，函数图象经过点(1，1). 2.已知 y-3 与 x 成正比例，当 x=2 时，y=7，求 y 与 x 之间的函数解析式. 3.在函数 y=-3x 的图象上取一点 P，过 P 点作 PA⊥x 轴，已知 P 点横坐标为-2，求△POA 的面积(O 为坐标原点). 【教学说明】以上各题由学生自主探究，有疑问的教师加以指导，最后评析. 【答案】1.(1)k＞-3；(2)k＜-3； (3)k=-2. 2.设 y-3=kx,∵当 x=2 时，y=7，代入得 7-3=2k，∴k=2，即 y-3=2x，则 y=2x+3. 3.∵点 P 在函数 y=-3x 的图象上，且 P 点的横坐标为-2，∴y=-3×(-2)=6，即 P 点的坐标为(-2,6).∴S △ POA =12×2×6=6. 四、师生互动，课堂小结

　问题 1.什么是正比例函数？其解析式是什么？ 2.正比例函数的图象是什么？它有什么特征？ 3.如何简便地画出正比例函数的图象？ 4.本节课的学习经历了怎样的过程？你有何感悟？

　 1.布置作业：从教材“习题 19.2”中选取. 2.完成练习册中本课时练习.

　因从本课时开始，学生将逐渐认识并理解各类具体的函数图象，一般的基本方法是由解析式画图象，再由图象得出性质，再反过来由函数性质研究图象的其他特征，结合学生已有的知识与经验和后面的学习内容与要求，本课时重在引领学生认识正比例函数的概念、图象的画法和应用性质的基本步骤，为后续学习指明方向和打下坚实的基础，利于研究更复杂的具体函数.教学中引导学生观“形”识“信息”，逐步形成读图能力，以及解题能力.