关于矩阵特征值的讨论

【摘要】已知矩阵特征值,分析有关矩阵的问题;讨论矩阵特征值在线性代数中的应用;

【关键词】矩阵对角化特征值特征向量

矩阵的特征值在高等代数中的应用非常广泛,作用也相当重要.常见的矩阵运算可以直接求出结果,但是另外一些复杂的矩阵需要先变形化简才可以方便的计算出结果.下面来讨论有关特征值方面的题型.

一、利用特征值求方阵的高次幂

若求一个n阶矩阵a的高次幂,直接计算的话是不容易计算出结果的.但是我们可以应用简便方法来求矩阵的高次幂.

当这个n阶矩阵a可以对角化时，再计算其高次幂,就会有简单方法。

若存在可逆矩阵p使得=.

即有则

而，故

例1已知，求。

解:我们可以求出，所以a的特征值为。对应于有两个线性无关的特征向量。对应于。

故a可对角化，则，

所以

例2已知，求的值。

解:（同例1）可以先求出a有三个互异的特征值为，故存在可逆阵p,

使

而

故。

二、利用特征值将矩阵化为对角矩阵

例3判断下列矩阵a是否与对角矩阵相似,如果相似,求出相似变换矩阵p,使为对角矩阵.

解:由得a的全部特征值为.

当时,解齐次线性方程组(a-e)x=0,由a-e=

得a的对应与特征值1的两个线性无关的特征向量.

当时,解齐次线性方程(a+2e)x=0,a+2e=

得a的对应特征值-2的一个特征向量,可见a有三个线性无关的特征向量,故可对角化.令p=,则.

例4设n阶矩阵a使,证明a可对角化.

证明:设a的特征值为,对应的特征向量,则,由可得,,即a的特征值为或.因为,所以有(a+e)(a-e)=0.

如果是a的特征值,而不是a的特征值,则,从而a-e可逆,故a+e=0,即a=-e,a可对角化.

如果是a的特征值,而不是,同理可得,a=e,即a可对角化.

如果和都是a的特征值,因为(a+e)(a-e)=0,所以有，

r（a+e）+r（a-e）n,且r（a+e）+r（a-e）=r（a+e）+r（a-e）r（a+e+e-a）=r（2e）=n.由此，r（a+e）+r（a-e）=n，于是有[n-r（a+e）]+[n-r(a-e)]=n,故a可以对角化。

三、已知某矩阵的特征值求该矩阵

矩阵特征值可以应用于矩阵对角化中,它在其他方面也有广泛的应用.下

面来讨论已知特征值,计算与矩阵有关的问题.

例5设三阶实对称矩阵a的特征值为，对应于，求a。

解:根据我们所学习过的定理:如果（a为三阶实对称矩阵，故必可对角化）。

又因为是a的二重特征值，故与特征值1对应的线性无关的特征向量有两个，设为，并且都和是正交的。

设所求特征向量为，则，即

由得。

规范化，得，。

作正交矩阵。

则，有，

所以，

四、利用矩阵特征值求另一矩阵的相似对角矩阵

例6已知三阶矩阵a的特征值为1，-1，2，设矩阵，

试求：矩阵d的特征值及其相似的对角矩阵。

解:因为三阶方阵a有三个相异的特征值1，-1，2，故存在可逆

矩阵p，使，

则。

从而，

所以

于是d的特征值为-4，-6，-12，

故可得,与矩阵d相似的对角矩阵为。

五、已知n阶方阵a的特征值,求方阵a的主对角线元素之和及行列式|a|的值

例7设n阶方阵a=的n个特征值为,试求:

(1)方阵a主对角线上的元素之和;

(2)行列式|a|的值.

分析:因为是a的n个特征值,即特征方程|a-e|=0的n个根为,故

另一方面,方阵a的特征多项式是

下面只要求出与即可.

1)、行列式|a-|是取自不同行和不同列的n个元素的乘积之代数和,其中必有一项是主对角线上的元素乘积,其余各项至少有一个元素()不在主对角线上.含元素的项的乘积中就不再含i行,j列的其余所有元素,亦即一定不含与.因此在这样的项中至多包含n-2个主对角线上的元素,所以这些项中的次数最多是n-2次,因此特征多项式中含的n次与n-1次的项只能在的项中出现。乘积中的系数是

即,比较式（1）,式（2）中的系数,

得,

故.

2)、在式（2）中,令得,特征多项式常数项为,则有=|a|.

比较式（1）,式（2）中的常数项系数,

故可得，|a|=.

参考文献

[1]谢延波，王爱茹，杨中兵，线性代数同步测试（第1版）[m]，东北大学出版社2002.8

[2]刘光祖，刘迎洲，线性代数典型题解析及自测试题（第1版）[m]，西北工业大学出版社2002.8

[3]赵德修，孙清华，线性代数题解精选（第1版）[m]，华中科技大学出版社2001.5

[4]李启文，谢季坚，线性代数内容方法与技巧（第1版）[m]，华中科技大学出版社2003.7