27.2与圆有关位置关系

　1 27.2.1 点与圆的位置关系

　教学目标：使学生能够用数量关系来判断点与圆的位置关系,掌握不在一条直线上的三点确定一个圆,能画出三角形的外接圆,求出特殊三角形的外接圆的半径,渗透方程思想。

　重点难点：

　1、重点：用数量关系判断点和圆的位置关系,用尺规作三角形的外接圆,求直角三角形、等边三角形和等腰三角形的半径。2、难点：运用方程思想求等腰三角形的外接圆半径。

　教学过程：

　一、用数量关系来判断点和圆的位置关系 同学们看过奥运会的射击比赛吗？射击的靶子是由许多圆组成的，射击的成绩是由击中靶子不同位置所决定的；右图是一位运动员射击 10 发子弹在靶上留下的痕迹。你知道这个运动员的成绩吗？请同学们算一算。

　（击中最里面的圆的成绩为 10 环，依次为 9、8、…、1 环）

　这一现象体现了平面上的点与圆的位置关系，如何判断点与圆的位置关系呢？我们知道圆上的所有点到圆心的距离都等于半径，若点在圆上，那么这个点到圆心的距离等于半径，若点在圆外，那么这个点到圆心的距离大于半径，若点在圆内，那么这个点到圆心的距离小于半径。

　如图 23.2.1，设⊙ O 的半径为 r ， A 点在圆内， B 点在圆上， C 点在圆外，那

　OA ＜ r ， OB ＝ r ， OC ＞ r ．反过来也成立，即

　若点 A 在⊙ O 内

　OA r 

　若点 A 在⊙ O 上

　OA r 

　若点 A 在⊙O 外

　OA r 

　思考与练习 1、⊙O 的半径 5 r cm  ，圆心 O 到直线的 AB 距离 3 d OD cm   。在直线 AB 上有 P、Q、R 三点，且有 4 PD cm  ， 4 QD cm  ， 4 RD cm  。P、Q、R 三点对于⊙O的位置各是怎么样的？

　2、 Rt ABC 中， 90 C    ， CD AB  ， 13 AB ， 5 AC  ，对 C 点为圆心， 6013为半径的圆与点 A、B、D 的位置关系是怎样的？ 二、不在一条直线上的三点确定一个圆

　问题与思考：平面上有一点 A，经过 A 点的圆有几个？圆心在哪里？平面上有两点 A、B，经过 A、B 点的圆有几个？圆心在哪里？平面上有三点 A、B、C，经过 A、B、C 三点的圆有几个？圆心在哪里？。

　图 23.2.2

　图 23.2.3

　 图 23.2.1

　 图 23.2.4

　从以上的图形可以看到，经过平面上一点的圆有无数个，这些圆的圆心分布在整个平面；经过平面上两点的圆也有无数个，这些圆的圆心是在线段 AB 的垂直平分线上。经过 A、B、C 三点能否画圆呢？同学们想一想，画圆的要素是什么？（圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小），所以关键的问题是定其加以和半径。

　如图 23.2.4，如果 A 、 B 、 C 三点不在一条直线上，那么经过 A 、 B 两点所画的圆的圆心在线段 AB 的垂直平分线上，而经过 B 、 C 两点所画的圆的圆心在线段 BC 的垂直平分线上，此时，这两条垂直平分线一定相交，设交点为 O ，则 OA ＝ OB ＝ OC ，于是以 O 为圆心， OA 为半径画圆，便可画出经过 A 、 B 、 C 三点的圆． 思考：如果 A、B、C 三点在一条直线上，能画出经过三点的圆吗？为什么？ 即有：

　不在同一条直线上的三个点确定一个圆

　也就是说，经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的 外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个 三角形的 外心．这个三角形叫做这个圆的 内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。

　思考：随意画出四点，其中任何三点都不在同一条直线上，是否一定可以画一个圆经过这四点？请举例说明。

　三、例题讲解

　 例 1 、 如 图 ， 已 知 Rt ABC 中 ， 90 C    ， 若 5 AC cm  ，

　12 BC cm  ，求 ABC 的外接圆半径。

　例 2、如图，已知等边三角形 ABC 中，边长为 6cm ，求它的外接圆半径。

　例 3、如图，等腰 ABC 中， 13 AB AC cm   ， 10 BC cm  ，求 ABC 外接圆的半径。

　四、小结 本节课我们学习了用数量关系判断点和圆的位置关系和不在同一直线上的三点确定一个圆，求解了特殊三角形直角三角形、等边三角形、等腰三角形的外接圆半径，在求解等腰三角形外接圆半径时，运用了方程的思想，希望同学们能够掌握这种方法，领会其思想。

　五、作业

　2 27.2.2 直线与圆的位置关系

　教学目标：使学生掌握直线与圆的位置关系，能用数量来判断直线与圆的位置关系。

　重点难点：用数量关系（圆心到直线的距离）判断直线与圆的位置关系即是教学重点又是教例1CBAOED例2CBAOAD例3CB

　学难点。

　教学过程：

　一、用移动的观点认识直线与圆的位置关系 1、同学们也许看过海上日出，如右图中，如果我们把太阳看作一个圆，那么 太阳在升起的过程中，它和海平面就有右图中的三种位置关系。

　 2、请同学在纸上画一条直线，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线与圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？

　二、数量关系判断直线与圆的位置关系

　从以上的两个例子，可以看到，直线与圆的位置关系只有以下三种，如下图所示：

　如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆 相离，如图 23.2.6（1）所示． 如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆 相切，如图 23.2.6（2）所示．此时这条直线叫做圆的 切线，这个公共点叫做 切点．如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆 相交，如图 23.2.6（3）所示．此

　时这条直线叫做圆的 割线．

　如何用数量来体现圆与直线的位置关系呢？ 如上图，设⊙ O 的半径为 r ，圆心 O 到直线 l 的距离为 d ，从图中可以看出：

　若

　直线 l 与⊙ O 相离； 若

　直线 l 与⊙ O 相切； 若

　直线 l 与⊙ O 相交；

　所以，若要判断圆与直线的位置关系，必须对圆心到直线的距离与圆的半径进行比较大小，由比较的结果得出结论。

　三、练习与例题 练习 1、已知圆的半径等于 5 厘米，圆心到直线 l 的距离是：（1）4 厘米；（2）5 厘米；（3）6 厘米.直线 l 和圆分别有几个公共点？分别说出直线 l 与圆的位置关系。

　练习 2、已知圆的半径等于 10 厘米，直线和圆只有一个公共点，求圆心到直线的距离. 练习 3、如果⊙ O 的直径为 10 厘米，圆心 O 到直线 AB 的距离为 10 厘米，那么⊙ O

　与直线AB 有怎样的位置关系？ 例 1、如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的直径 AB 交小圆于点 C、D，大圆的弦 EF 与小圆相切于点 C，ED 交小圆于点 G， 设大圆的半径为 ， ，求小圆的半径 和 EG 的的长度。

　 三、小结 本节课我们学习了直线与圆的位置关系，当我们判断直线与圆的位置关系时，应该用d r d r d r 10cm 8 EF cm r

　图 23.2.6 DOGFECB A

　数量关系（圆心到直线的距离）来体现，即上面讲解的圆心到直线的距离与圆的半径进行比较大小，从而断定是哪种关系。

　若

　直线 l 与⊙ O 相离； 若

　直线 l 与⊙ O 相切； 若

　直线 l 与⊙ O 相交；

　四、作业

　27.2.3 ）

　切线（一）

　教学目标：

　1、使学生掌握切线的识别方法，并能初步运用它解决有关问题；

　2、通过切线识别方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力；

　教学重点和难点：

　切线的识别方法是重点；而方法的理解及实际运用是难点．

　教学过程设计：

　一、从学生已有的知识结构提出问题

　1、复习、回顾直线与圆的三种位置关系．

　2、根据几何画板所示图形，请学生判断直线和圆的位置关系． 学生判断的过程，提问：你是怎样判断出图中的直线和圆相切的？根据学生的回答，继续提出问题：如何界定直线与圆是否只有一个公共点？（画板演示）

　教师指出，根据切线的定义可以识别一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义识别很不方便，为此我们还要学习识别切线的其它方法．(板书课题)

　二、师生共同探讨、发现结论

　1、由上面的复习，我们可以把上节课所学的切线的定义作为识别切线的方法 1——定义法：与圆只有一个公共点的直线是圆的切线． 2、当然，我们还可以由上节课所学的用圆心到直线的距离 与半径 之间的关系来判断直线与圆是否相切，即：当 时，直线与圆的位置关系是相切．以此作为识别切线的方法2——数量关系法：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线． 3、继续观察复习时的图形，如图，圆心 到直线 的距离 等于半径 ，直线 是⊙O 的切线，这时我们来观察直线 与⊙O 的位置，可以发现：（1）直线 经过半径 的外端点 ；（2）直线 垂直于半径 ．这样我们就得到了从位置上来判断直线是圆的切线的方法 3——位置关系法：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 4、思考：现在，任意给定一个圆，你能不能作出圆的切线？应该如何作？ 请学生回顾作图过程，切线 是如何作出来的?它满足哪些条件? 引导学生总结出：①经过半径外端；②垂直于这条半径．

　请学生继续思考：这两个条件缺少一个行不行? （学生画出反例图）

　d r d r d r d rd r O l d rl ll OAAl OAlAO lAOl

　（图 1）

　（图 2）

　 （图 3）

　图(1)中直线 经过半径外端，但不与半径垂直；

　图(2)中直线 与半径垂直，但不经过半径外端． 从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线．

　最后引导学生分析，方法 3 实际上是从前一节所讲的“圆心到直线的距离等于半径时直线和圆相切”这个结论直接得出来的，只是为了便于应用把它改写成“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这种形式．

　三、应用定理，强化训练

　例 1、如图，已知直线 AB 经过⊙O 上的点 A，并且 AB＝OA，OBA=45， 直线 AB 是⊙O 的切线吗？为什么？

　 例 2、如图，线段 AB 经过圆心 O，交⊙O 于点 A、C，BAD＝B＝30，边 BD 交圆于点D．BD 是⊙O 的切线吗？为什么？ 分析：欲证 BD 是⊙O 的切线，由于 BD 过圆上点 D，若连结 OD，则 BD 过半径 OD 的外端，因此只需证明 BD⊥OD，因 OA＝OD，BAD＝B，易证 BD⊥OD．

　教师板演，给出解答过程及格式．

　 课堂练习：

　四、小结 提问：这节课主要学习了哪些内容?需要注意什么问题?

　在学生回答的基础上，教师总结：

　主要学习了切线的识别方法，着重分析了方法 3 成立的条件，在应用方法 3 时，注重两个条件缺一不可．

　 识别一条直线是圆的切线，有三种方法：

　(1)根据切线定义判定，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；

　(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线； (3)根据直线的位置关系来判定，即经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的 切线，

　说明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线，如果已知直线过圆上某一点，则作出过 这一点的半径，证明直线垂直于半径即可(如例 2)．

　五、布置作业

　l l

　 4 27.2.4 切线（2 2 ）

　教学目标：

　通过探究,使学生发现、掌握切线长定理，并初步长定理，并初步学会应用切线长定理解决问题，同时通过从三角形纸片中剪出最大圆的实验的过程中发现三角形内切圆的画法，能用内心的性质解决问题。

　重点难点：

　1、重点：切线长定理及其应用，三角形的内切圆的画法和内心的性质。

　2、难点：三角形的内心及其半径的确定。

　教学过程：

　一、巩固上节课学习的知识

　请同学们回顾一下，如何判断一条直线是圆的切线？圆的切线具有什么性质？（经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径。）

　你能说明以下这个问题？ 如右图所示，PA 是 的平分线，AB 是⊙O 的切线，切点 E，那么 AC 是⊙O 的切线吗？为什么？ 解：连结 OE，过 O 作 ，垂足为 F 点

　 因为

　AB 是⊙O 的切线

　 所以

　 又因为 PA 是 的平分线，

　所以

　 所以

　AC 是⊙O 的切线

　 二、探究从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等以及这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角

　问题 1、从圆外一点可以作圆的几条切线？请同学们画一画。

　 2、请问：这一点与切点的两条线段的长度相等吗？为什么？

　 3、切线长的定义是什么？

　通过以上几个问题的解决，使同学们得出以下的结论：

　 从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等。这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。

　在解决以上问题时，鼓励同学们用不同的观点、不同的知识来解决问题，它既可以用书上阐述的对称的观点解决，也可以用以前学习的其他知识来解决问题。

　三、对以上探究得到的知识的应用

　思考：右图，PA、PB 是，切点分别是 A、B，直线 EF 也是⊙O 的切线，切点为 P，交PA、PB 为 E、F 点，已知 ， ，（1）求 的周长；（2）求的度数。

　 解：（1）连结 PA、PB、EF 是⊙O 的切线 BAC OF AC OE AB BAC  OF AC OF OE 12 PA cm  70 P    PEF EOF POFECBAPOBA

　 所以 ， ，

　 所 以 的 周 长

　（2）因为 PA、PB、EF 是⊙O 的切线

　 所以 ， ，

　 ，

　 所以

　 所以

　四、三角形的内切圆

　 想一想，发给同学们如图 23.2.11 所示三角形纸片，请在它的上面截一个面积最大的圆形纸片？

　提示：画圆必须确定其位置和大小，即确定圆的圆心和半径，而要截出的圆的面积最大，这个圆必须与三角形的三边都相切。

　 如图 23.2.12，在△ ABC 中，如果有一圆与 AB 、 AC 、 BC 都相切，那么该圆的 圆心到这三角形的三边的距离都相等，如何找到这个圆的圆心和半径呢？

　等待同学们想过之后再阐述如何确定圆心和半径。

　我们知道，角平分线上的点到角的两边距离相等，反过来，到角两边距离相等

　的点在这个角的平分线上。因此，圆心就是△ ABC 的角平分线的交点，而半径是这

　个交点到边的距离。

　根据上述所阐述的，同学们只要分别作 、 的平分线，他们的交

　点 I 就是圆心，过 I 点作 ，线段 ID 的长度就是所要画的圆的半径，因此以 I 点为圆心，ID 长为半径作圆，则⊙I 必与△ ABC 的三条边都相切。

　与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 内切圆，三角形的内切圆的...