9,零点存判定与证明

　9 零点存在的判定与证明 一、基础知识：

　1、函数的零点：一般的，对于函数   y f x  ，我们把方程   0 f x  的实数根0x 叫作函数  y f x 的零点。

　2、零点存在性定理：如果函数   y f x  在区间   , a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有     0 f a f b   ，那么函数   y f x  在区间   , a b 内必有零点，即  0, x a b   ，使得  00 f x 

　 3、函数单调性对零点个数的影响：如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调 4、几个“不一定”与“一定”（假设   f x 在区间   , a b 连续）

　（1）若     0 f a f b   ，则   f x “一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析   f x 的性质与图像，如果   f x 单调，则“一定”只有一个零点 （2）若     0 f a f b   ，则   f x “不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果   f x单调，那么“一定”没有零点 （3）如果   f x 在区间   , a b 中存在零点，则     f a f b  的符号是“不确定”的，受函数性质与图像影响。如果   f x 单调，则     f a f b  一定小于 0 5、零点与单调性配合可确定函数的符号：

　  f x 是一个在   , a b 单增连续函数，0x x  是  f x 的零点，且  0, x a b  ，则  0, x a x  时，   0 f x  ；  0 ,x x b  时，   0 f x 

　6、判断函数单调性的方法：

　（1）可直接判断的几个结论：

　① 若     , f x g x 为增（减）函数，则     f x g x  也为增（减）函数 ② 若   f x 为增函数，则   f x  为减函数；同样，若   f x 为减函数，则   f x  为增函数 ③ 若     , f x g x 为增函数，且     , 0 f x g x  ，则     f x g x  为增函数 （2）复合函数单调性：判断     y f g x  的单调性可分别判断   t g x  与   y f t  的单调性（注意要利用 x 的范围求出 t 的范围），若   t g x  ，   y f t  均为增函数或均为减函数，则     y f g x  单调递增；若   t g x  ，   y f t  一增一减，则     y f g x  单调递减（此规律可简记为“同增异减”）

　（3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图像 7、证明零点存在的步骤：

　（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数 （2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数   f x

　 （3）分析函数   f x 的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间 （4）利用零点存在性定理证明零点存在 例 1：函数   2 3xf x e x    的零点所在的一个区间是（

　 ）

　A.

　1,02   

　B.

　10,2   

　C. 1,12   

　 D. 31,2   

　例 2：函数     ln 1 f x x x    的零点所在的大致区间是（

　 ）

　A.

　31,2   

　B. 3,22   

　C.   2,e

　 D.   , e 

　 例 3 ：（ 2010 ， 浙 江 ）

　已 知0x 是 函 数  121xf xx 的 一 个 零 点 ， 若   1 0 2 01, , , x x x x    ，则（

　 ）

　A.    1 20, 0 f x f x  

　B.    1 20, 0 f x f x  

　C.    1 20, 0 f x f x  

　D.    1 20, 0 f x f x  

　例 4：已知函数     log 0, 1af x x x b a a      ，当 2 3 4 a b     时，函数   f x 的零点  0, 1 , x n n n N     ，则 n  ________ 例 5 ：

　定 义 方 程    "f x f x  的 实 数 根0x 叫 做 函 数   f x 的 “ 新 驻 点 ”， 若       3, ln 1 , 1 g x x h x x x x       的“新驻点”分别为 , ,    ，则（

　 ）

　A.

　    

　 B.     

　 C.     

　D.     

　例 6：若函数 ) (x f 的零点与   ln 2 8 g x x x    的零点之差的绝对值不超过 5 . 0 ， 则 ) (x f可以是（

　）

　A． 6 3 ) (   x x f

　B．2) 4 ( ) (   x x f

　 C． 1 ) (1  xe x f

　D． )25ln( ) (   x x f

　例 7：设函数    22 4, ln 2 5xf x e x g x x x       ，若实数 , a b 分别是     , f x g x 的零点，则（

　 ）

　A.     0 g a f b  

　B.     0 f b g a  

　 C.     0 g a f b  

　D.     0 f b g a  

　例 8：已知定义在   1, 上的函数   ln 2 f x x x    ，求证：

　  f x 存在唯一的零点，且零点属于   3,4

　 例 9：（2011 年，天津）已知 0 a  ，函数  2ln f x x ax   （   f x 的图像连续不断）

　（1）求   f x 的单调区间 （ （2 ）当18a  时 ， 证明 ：

　存在  02,+ x   ， 使得  032f x f   

　例 10 ：

　已 知 函 数   lnxf x e a x a    ， 其 中 常 数 0 a  ， 若   f x 有 两 个 零 点 1 2 1 2, 0 x x x x   ，求证：1 211 x x aa   