第八部分,理科附加题

　第八部分 理科附加题

　 § §8.1 矩阵与变换

　1．已知矩阵1=1ab   M ，点 (1 1)  ， 在 M 对应的变换作用下得到点 ( 1 5)   ， ，求矩阵 M 的特征值．

　 2．(2018  南通一模)已知 xR ，向量01   是矩阵10 2x    A 的属于特征值  的一个特征向量， 求  与1 A ．

　3．已知矩阵4 00 1A   ，1 20 5B   ，列向量aXb    . （1）求矩阵 AB ； （2）若1 151B A X     ，求 a ， b 的值.

　 4．已知变换2:3 2x x x yTy y x y                  ． （1）写出变换 T 对应的矩阵 A ； （2）求矩阵 A 的逆矩阵1A  ．

　 5．已知二阶矩阵 M 有特征值 8   及对应的一个特征向量111e    ，并且矩阵 M 对应的 变换将点 ( 1,2)  变换成 ( 2,4)  . （1）求矩阵 M ； （2）求矩阵 M 的另一个特征值.

　 6．已知矩阵3 12 23 12 2M      ，2 00 2N   ，曲线 C 在矩阵 M 对应的变换作用下得到曲 线C，曲线C在矩阵 N 对应的变换作用下得到曲线2 2: 4 C x y    ，求曲线 C 的方程．

　7. 已知曲线2 21 :1 C x y   ，对它先作矩阵1 00 2A   对应的变换，再作矩阵01 0bB   对

　应的变换，得到曲线222 :14xC y   ．求实数 b 的值．

　8．已知二阶矩阵 A 满足：1 3 1 121 2 1 8A          ． （1）求矩阵 A ； （2）若23    ，求1 5( ) A ．

　§ §8.2 坐标系与参数方程

　1．在极坐标系中，设曲线 C 的方程为 4sin    ，直线 l 的方程为1cos6 2     ． 已知 O 为极点，直线 l 与曲线 C 相交于 A ， B 两点，求 AOB △ 的面积．

　 2．在极坐标中，已知圆 C 经过点 ( 2, )4P，圆心为直线3sin( )3 2     与极轴的 交点，求圆 C 的极坐标方程．

　3．将曲线 C 的参数方程111txtyt ，，（ t 为参数，且 0 t  ）化为普通方程，并说明曲线 C 是 何种曲线．

　 4．在直线坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为  226 25 x y    ． （1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程； （2）直线 l 参数方程是cossinx ty t （t 为参数），l 与 C 交于 A、B 两点， 10 AB  ，求 l 的斜率．

　 5．(2017  南通一模)在极坐标系中，求直线π( )4   R 被曲线 4sin    所截得的弦长．

　 6．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为cossinx ry r ，（  为参数， r 为常数， 0 r  ）．以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为

　xO H F A B y2 cos( ) 2 04     ．若直线 l 与曲线 C 交于 A B ， 两点，且 2 2 AB  ，求 r 的值．

　 7．已知曲线 C 的方程为2213xy   ，直线 l 的参数方程为3 ,1x ty t    ( t 为参数， t R  ).试 在曲线 C 上求一点 M ，使它到直线 l 的距离最大.

　 8．在直角坐标平面内，以原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线 l

　的参数方程为1 cos ,sinx ty t  ( t 为参数， 0     )，曲线 C 的极坐标方程为 2sin 4cos     ． （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）设直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点，当  变化时，求线段 AB 长的最小值．

　 § §8.3 曲线与方程

　1．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线22 ( 0) y px p   的焦点 F 到准线的距离

　 为 2 ，准线与 x 轴的交点为 H ，过点 F 的直线 l 与抛物线的交点为 A B ， ，且 AB HB  ．

　 （1）求抛物线的标准方程；

　（2）求证：

　AHF BHF   ；

　 （3）求 AF BF  的值．

　2．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A ， B 在抛物线2: 2 C y px  ( 0) p  上．当直线 OA 的方程 为 2 0 x y   ，且 OA OB  时， 5 13 AB  ．

　 （1）求 p 的值；

　 （2）设抛物线 C 的焦点为 F ，准线为 l ，点1A ，1B 在 l 上，且1AA l  ，1BB l  ，线段1A1B

　的中点为 Q ．当直线 AB 经过焦点 F 时，求证：1// AQ B F ．

　3．已知抛物线2: 2 C y x  的焦点为 F ，平行于 x 轴的两条直线1 2, l l 分别交 C 于 , A B 两点，交 C 的准线于 P Q ， 两点． （1）若 F 在线段 AB 上， R 是 PQ 的中点，证明 AR FQ ； （2）若 PQF  的面积是 ABF  的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程．

　4．（2019  北京）已知抛物线 C：x 2 =−2py 经过点（2，−1）． （1）求抛物线 C 的方程及其准线方程； （2）设 O为原点，过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0 的直线 l交抛物线 C 于两点 M，N， 直线1 y   分别交直线 OM，ON 于点 A 和点 B.求证：以 AB 为直径的圆经过 y 轴上 的两个定点．

　5．在平面直角坐标系 xOy 中，圆2 2:( 1) 1 F x y    内切于动圆 M ，且动圆 M 与直线 : 2 l x

　相切．

　 （1）求动圆 M 的圆心 M 的轨迹 C 的方程； （2）设 N 是轨迹 C 的准线上的一个动点，过点 N 作轨迹 C 的两条切线，切点分别为 , P Q ． 求证：直线 PQ 必经过 x 轴上的一个定点 B ，并写出点 B 的坐标．

　6．已知抛物线 C 的顶点为 (0,0) O ，焦点为 (0,1) F ． （1）求抛物线 C 的方程； lxOyFM

　（2）过点 F 作直线交抛物线 C 于 , A B 两点．若直线 , AO BO 分别交直线 : 2 l y x   于, M N 两点，求 MN 的最小值．

　§8 8. .4 4

　空间向量

　1. 直三棱柱1 1 1ABC ABC  中，已知 AB AC  ， 2 AB ， 4 AC ，13 AA  .

　D 是 BC 的中点.

　（1）求直线1DB 与平面1 1AC D 所成角的正弦值； （2）求二面角1 1 1B AD C   的大小的余弦值.

　2．如图，在四校锥 P ABCD  中， PA 底面 ABCD ， // AD BC ， 3 AB AC AD    ， 4 PA BC   ．

　 （1）求异面直线 PB 与 CD 所成角的余弦值； （2）求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值．

　 1A1B1CD

　ACBBCPAD

　 3．如图所示，在三棱柱1 1 1ABC ABC  中，1 1AABB 为正方形，1 1BBC C 为菱形，1 160 BBC    ， 平面1 1AAB B  平面1 1BBC C . （1）求直线1AC 与平面1 1AABB 所成角的正弦值； （2）求二面角1B AC C   的余弦值.

　 4．如图，在四棱锥 ABCD P 中，底面 ABCD 是矩形，  PA 平面 ABCD ，AB 1，AP AD 2. （1）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值； （2）若点 M，N 分别在 AB，PC 上，且  MN 平面 PCD ，试确定点 M，N 的位置．

　 5．如图，已知三棱柱1 1 1ABC ABC  的侧棱与底面垂直，11 AA AB AC    ， AB AC  ， M 、 N 分别是1CC 、 BC 的中点，点 P 在直线1 1AB 上，且满足1 1 1AP AB   ( ) R   ． （1）求异面直线 PN ， AM 所成的角； （2）若平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角为 45 ，试确定点 P 的位置．

　A

　1A

　1B

　1CB

　C

　A B C D P

　 6．如图，在直三棱柱1 1 1ABC ABC  中， , 3, 4 AB AC AB AC    ，动点 P 满足

　 1 (0) CP CC     ，当12  时，1AB BP  ．

　（1）求棱1AA 的长；

　（2）若二面角1B AB P   的大小为4，求  的值．

　§8 8. . 5 数学归纳法 与 复合函数的导数

　1．已知数列  na 的通项公式*1(1 ) ( )nna n n Nn   ，设1 2 3( )nf n a a a a  *( ) n N  ． （1）计算 (1) f ， (2) f ， (3) f 的值； （2）猜测计算 ( ) f n*( ) n N  的公式，并证明你的猜测； （3）求证：*n N   ， ( ) 1 f n  能被 n 整除．

　 2．已知函数0 ( )cos ( ) f x x x x R   ，记 ( )nf x 为1 ( ) nf x的导数， nN ． ABC1A1BP1C

　（1）求1 2 3 4( ) ( ) ( ) ( )4 4 4 4f f f f      的值； （2）求 ( )nf x ( ) nN 的解析式．

　 3．(2017  南通三模)已知函数0 ( )cx df xax b（ 0 a ， 0 ac bd   ）．设 ( )nf x 为1 ( ) nf x的 导数，*nN ． （1）求1 ( )f x ，2 ( )f x ； （2）猜想 ( )nf x 的表达式，并证明你的结论．

　4．已知222( ) ( )nf x xx  ， nN ． （1）若在 ( ) f x 的展开式中，第 5 项与第 3 项的二项式系数之比为 14:3 ，求 n 的值； （2）设 ( ) f x 的展开式中，二项式系数最大的项的系数为na ，求证：322 1nnan， nN ．

　5．设函数2( ) ( )axf x e x ax a    R ． （1）证明：

　( ) f x 在 ( ,0)  单调递减，在 (0, )  单调递增； （2）若对于任意1 2, [ 1,1] x x   ，都有1 2( ) ( ) 1 f x f x e    ，求 a 的取值范围．

　§ §8.6 理科附加中的 概率与统计

　1．现有甲乙两组学生，分别参加某项体能测试，所得成绩的茎叶图如图．规定测试成绩大 于等于 90 分为优秀，80 至 89 分为良好，60 至 79 分为合格，60 分以下为不合格． （1）现从甲组数据中抽取一名学生的成绩，有放回地抽取 6 次，记抽到优秀成绩的次数 为 X ，求 X 的数学期望； （2）从甲乙两组学生中任取 3 名学生，记抽中成绩优秀的学生数为 Y ，求 Y 的概率分布 与数学期望．

　2．已知 2 件次品和 3 件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产 甲 乙 9 8 7 02 4 6

　22 751 9 8

　品，检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束． （1）求前两次检测恰好检测出一件次品的概率； （2）若每检测一件产品需要费用 1000 元，设 X 表示检测结束时所需要的检测费（单 位：元），求 X 的概率分布和数学期望．

　3．假定某篮球运动员每次投篮命中率均为35．现有 3 次投篮机会，并规定连续两次投篮均 不中即终止投篮．假定该运动员不放弃任何一次投篮机会． （1）求该运动员恰用完 3 次投篮机会的概率； （2）设该运动员投篮命中次数为  ，求  的概率分布及数学期望 E(  )．

　 4．袋中装有围棋黑色和白色棋子共 7 枚，从中任取 2 枚棋子都是白色的概率为17. 现有甲、 乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子。甲先摸，乙后取，然后甲再取，……，取后均不放回， 直到有一人取到白棋即终止. 每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的。用 X 表示 取棋子终止时所需的取棋子的次数． （1）求随机变量 X 的概率分布列和数学期望 ( ) E X ； （2）求甲取到白球的概率．

　5．“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如 22，121，3553 等．显然 2 位“回文数”共 9 个：11，22，33，…，99．现从 9 个不同 2 位“回文数”中任取 1 个 乘以 4，其结果记为 X；从 9 个不同 2 位“回文数”中任取 2 个相加，其结果记为 Y． （1）求 X 为“回文数”的概率；

　（2）设随机变量  表示 X，Y 两数中“回文数”的个数，求  的概率分布和数学期望 ( ) E  ．

　6．在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一 张如图所示的 3  3 表格，其中 1 格设奖 300 元，4 格各设奖 200 元，其余 4 格各设奖 100 元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击 3 格，记中奖的总金 额为 X 元． （1）求概率   600 P X  ； （2）求 X 的概率分布及数学期望   E X ．

　§ §8.7 计数原理与二项式定理

　1．阅读以下案例，利用此案例的想法化简0 1 1 2 2 3 3 43 4 3 4 3 4 3 4C C C C C C C C    ．

　 【案例】考察恒等式      5 2 31 1 1 x x x     左右两边2x 的系数．

　 因为右边     2 30 1 2 22 2 21 1 C C C x x x x       0 3 1 2 2 33 3 3 3C C C C x x x    ，

　 所以，右边2x 的系数为0 1 1 2 2 32 3 2 3 2 3C C C C C C   ，

　 而左边2x 的系数为25C ，

　 所以0 1 1 2 2 3 22 3 2 3 2 3 5C C C C C C C    ．

　 2．设 nN ，0( 2) 2nk kn nkS k C ．

　 （1）当 2 n  ， kN 时，求证：11k kn nkC nC ； （2）求nS ．

　3．（1）求证：

　nN 时，2 1 2 1( 5 2) ( 5 2)n n     为正整数；

　 （2）设2 1( 5 2) ( , ,0 1)nm m n         N ，求证：

　( ) 1. m    

　4．设202( 1) inniinPC  ，212( 1)j nnjjnjQC   ． （1）求2 22P Q  的值； （2）化简n nnP Q  ．