DedeKind原理与实数基本定理之间的关系

发布时间：2022-10-19 18:10:04 浏览数：次

【摘要】DedeKind分割学说在分析学中占有重要地位，它揭示了实数的完备性.本文考查DedeKind原理与实数基本定理之间的关系，从而加深对数学分析的理解.

【关键词】DedeKind原理;聚点定理;区间套定理;单调有界定理

【基金项目】中国矿业大学教育教学改革与课程建设项目资助（2017YB29）.

一、引言

德国数学家Richard DedeKind所创立的分割学说是将有理数扩充到实数的一种非常有效的方法[1]，证明了无理数存在以及实数的完备性.很自然地，我们认为DedeKind分割与实数基本定理之间存在着某种联系.但大部分数学分析书中都没有给出这种关系或者只有简单的介绍.在本文中，我们将揭示这种关系，从而加深对数学分析的理解，激发学习兴趣.

定义1[2] DedeKind原理：设A，B是实数域R的两个子集，它们满足以下三个条件：

（a）不空：A≠且B≠;

（b）不漏：A∪B=R;

（c）不乱：对x∈A，y∈B都成立x<y;

则称（A|B）为实数域的一个DedeKind分割，A为分割的下类，B为分割的上类.

定理1[3] 设（A，B）是实数域的一个DedeKind分割，则或者下类A中有最大数，或者上类B中有最小数.

上述定理也可等价地表述为：

设（A，B）是实数域的一个DedeKind分割，则存在实数c使x≤c≤y，x∈A，y∈B成立.

实数c称为分划（A|B）的分点，且c是唯一的.

二、DedeKind原理证明聚点定理

设S是一个非空有上界的实数集，定义两个集合A和B分别如下：

B={b R：S，x<a}，A=R＼＼B.

即B由所有比S中的数都大的实数组成，A则为B的余集.下证（A，B）是实数域的一个DedeKind分割.

（1）不空：由于S有上界，可设实数M是S的一个上界，令a=M+1，则a大于S中的所有数，从而a∈B，所以B≠.又由于S中的所有数都不在B中，因而，都在A中，说明A≠;

（2）不漏：根据A与B的定义有A∪B=R;

（3）不乱：设x∈A，y∈B，由x∈A可知xB，从而存在z∈S，使x≤z.而由y∈B和z∈S可知必有z<y.由x≤z和z<y可得x<y，即A中的數都比B中的数小.

因此，（A，B）是实数域的一个DedeKind分割.

这样，根据DedeKind原理可知，存在实数c使x≤c≤y.由于x≤c，这表明c是S的一个上界.另外，对任意ε>0，有c-ε<c，由上面的不等式可知存在x′∈S，使x′>c-ε成立，这意味着c是S的上界，从而存在聚点.

三、DedeKind原理证明区间套定理

设[an，bn]为一列闭区间套.令{an}全体上界为上类B，令A=R＼＼B，由已知[a1，b1] [a2，b2]…[an-1，bn-1][an，bn]可知a1≤a2≤…≤bn≤…≤b2≤b1，所以有结论：

（1）不空：由于b1∈B，a1∈A，则A，B两类不空;

（2）不漏：由于A=R＼＼B，则A，B两类不漏;

（3）不乱：a∈A，b∈B，可知a不是{an}的上界，因此，存在x∈{an}，使a<x.又b为{an}的上界，所以x≤b，则有a<x≤b，即得a<b，则A，B不乱.

因此，（A，B）是实数域的一个DedeKind分割.此时我们运用DedeKind原理知，存在唯一的c，a∈A，b∈B，有a<c≤b.所以n，an≤c≤bn，又因为 limn→∞（bn-an）=0，所以 limn→∞an=c= limn→∞bn.

四、总结

实数的DedeKind构造立论严谨、叙述简明，直观而又深刻地揭示了实数的完备性，因此，必然与实数基本定理有着密不可分的联系.本文运用DedeKind原理对聚点定理、区间套定理进行了详细证明.我们也可运用同样的想法，证明其他的实数基本定理.本文的结果对加深数学分析内容的理解、激发数学分析的学习兴趣有促进作用.

【参考文献】

[1]王建午.实数的构造理论[M].北京：人民教育出版社，1981.

[2]陈广荣.现代数学的重要方法集合论浅说[M].内蒙古：内蒙古人民出版社，1979.

[3]崔尚斌.数学分析教程（第一版）[M].北京：科学出版社，2013.

[4]华东师范大学数学系编.数学分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[5]单墫.数列与极限[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2017.

[6]常庚哲，史济怀.数学分析教程[M].北京：高等教育出版社，2003.

相关热词搜索：实数定理原理关系 DedeKind