可积函数的判别及逼近性质的证明

发布时间：2022-10-19 18:25:04 浏览数：次

摘要:通过对定积分定义的了解,进一步研究函数可积的充分条件、必要条件及充要条件,并且给出了可积函数可用连续函数逼近结果的证明。

关键词:可积函数连续函数函数逼近

中图分类号:G633.6文献标识码:A文章编号:1673-9795(2012)04(b)-0106-01

定积分是积分学的基本问题之一,其思想方法就是“分割,近似求和,取极限”。这种特定结构的和式的极限广泛应用于几何问题、物理问题及科学技术中。而定积分中的首要问题是如何判断函数的可积性,下面具体介绍函数可积性的判别方法及可积函数可用连续函数逼近的性质。

1 可积函数的判别

1.1 可积的充分条件及必要条件

引理1[1]:若在上连续,则在上必可积。

引理2[1]:若在上有界且只有有限个间断点,则在上必可积。

引理3[1]:若在上单调,则在上必可积。

引理4[1]:若在上可积,则在上必定有界。

1.2 可积的充要条件

引理5[1]:若在上有界,则在上可积的充要条件是:

,即,其中是在上的振幅。

引理6[2]:有界函数在闭区间上可积的充要条件是:在上几乎处处连续(即的间断点集的测度为零)。

在闭区间上有界的函数可积的充要条件可以归纳为下面的定理。

定理1:若在上有界,则下列条件等价:

在上可积。

,其中是在上的振幅。

,其中,。

证明:设成立,记其积分值为,于是,使得对任意满足的分割,均有 ,因而≤≤≤,从而有0≤≤,即。

对任给的,必存在的一个分割,使得 ,于是0≤≤,由于是任意的正数,所以。

设,对,总有≤≤,又因为,则,即在上可积。

2 可积函数的逼近性质

在数学分析习题中有如下结果,但未给出证明,下面将在函数可积的充要条件定理的基础上,给出可积函数可用连续函数逼近的结果的证明。

定理2[1]:若在上可积,则有上的连续折线列存在,使得。

证明:将区间等分,。令为上过两端点的线段,即。显然是上的连续函数,因此可积。记及分别是在上的下确界、上确界及振幅,则当时,有≤≤,≤≤,从而有≤,则 ≤≤有可积知,则。

3 结语

熟练掌握可积性的判别方法是灵活判别函数可积的关键。本文对函数可积性的判别方法进行了简单归纳,并且对可积函数可用连续函数逼近进行了研究,希望能给初学者给予一定的帮助。

参考文献

[1]郭大钧,陈玉妹,裘卓明.数学分析(上册)[M].济南:山东科学技术出版社,2008.

[2]夏道行,吴卓人,等.实变函数论与泛函分析(上册)[M].北京:人民教育出版社,1979.

[3]刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义(上册)[M].北京:高等教育出版社,1997.

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