金融混沌Duffing-Holms模型及其控制方法研究

摘 要：分析并发掘了金融混沌的Duffing-Holms模型的序参量，提出了Duffing-Holms模型存在周期解的条件，这表明可以通过OGY方法和非线性同步方法对金融混沌进行控制.在进行OGY控制时，设定了Duffing-Holms模型的一个周期解，并通过数值模拟将混沌控制到该轨道上，结果指出要对中国金融市场进行有效的混沌控制，必须做好充分准备，对金融市场进行微调.非线性同步方法的数值模拟结果显示，可以通过确定一个市场为驱动系统，另一个为受控响应系统，控制沪深两市的混沌.

关键词：金融市场；混沌；Duffing-Holms模型；OGY控制法；非线性同步

中图分类号：F830.9 文献标识码：A

Study of the Duffing-Holms Model of Financial

Chaos and its Controlling Methods

ZOU Lin, MA Chao-qun, ZHANG Hong

(College of Business Administration, Hunan Univ, Changsha, Hunan 410082, China)

Abstract:The order parameter of Duffing-Holms model is analyzed and found out. Existence conditions of Duffing-Holms model"s periodic solutions are put forward, which indicates that we can control financial chaos in OGY method and nonlinear synchronous method. One periodic solution is set out before numerical simulation of OGY is done. The conclusion has demonstrated that, to control effectively chaos in Chinese financial market, the government must prepare fully and adjust slowly. Finally, the conclusion of numerical simulation of nonlinear synchronous controlling has demonstrated that the government can control stock markets of Shanghai and Shenzhen by indentifying one market as the driven system and the other as the controlled response system.

Key words: financial market; chaos; Duffing-Holms model; OGY control method; nonlinear synchronous

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金融市场是联系各国经济的桥梁与纽带，由于金融市场波动大、信息传输快、流动性大，导致各国金融市场联动效应不断增强，尤其是随着现代技术水平的提高使投资成本降低，交易人数增加，交易更加频繁，金融市场参与者的关系更加复杂，更加偏离线性模型，造成金融危机频发.而金融危机是金融市场混沌特征的一种表现，对这种金融风险的控制问题一直困扰着金融监管机构.无论是1987年美国股市的“黑色星期一”和1998年美国长期资本投资管理有限公司遭致的巨大亏损，还是由泰国金融市场蔓延到整个东南亚的金融危机以及中国股市的大起大落，都显示着监管机构对金融混沌控制力不从心.

在金融市场中，混沌是一种有害的运动形式，它可能导致系统失控，使系统彻底崩溃.美国工业和应用数学协会（SIAM）在1988年发表的一份题为“控制理论未来的发展方向”的指导性文献中，特别将“混沌的控制”作为一个新的研究方向.1990年，美国马里兰大学的物理学家E.Ott，C.Grebogi和J.A.Yorke基于参数扰动方法，首先提出了一种混沌系统的控制方法——OGY方法，成功地用于控制吸引子中的低周期轨道［1］，并被成功地应用于一些经济系统的混沌控制上［2］.同年，L.M.Pecora，T.L.Carroll提出了混沌同步的思想.1991年，美国俄亥俄州大学物理学家Hunt提出了正比反馈控制法（OPF方法）.1992年，法国物理学家K.Pyragas提出了一种时间延迟反馈控制混沌方法［3］.以后十几年，混沌控制和混沌同步的研究得到了蓬勃发展，这一方向迅速成为混沌研究领域的重要热点.其他的一些混沌控制方法，比如：线性状态反馈控制［4］、滑模控制［5］和自适应李雅普诺夫控制［6］，都被广泛应用.

为了控制金融市场的混沌现象，温红梅等人建立一个三层结构的金融风险系统结构模型，运用RBF神经网络法实现了混沌系统同步控制［7］.姚洪兴将古诺模型引入了金融领域,应用直线控制法，实现了对混沌态的控制［8］．宋银芳［9］、朱少平［10］、梅小华［11］等对一个由生产子块、 货币、 证券子块和劳动力子块所组成的金融混沌系统进行了分析，分别用线性和非线性控制方法对其进行控制.周国红［12］对Duffing-Holms模型进行了分析，姚洪兴［13］等利用周期激励法和恒定外激法对其进行控制.本文针对广泛应用于描述金融混沌的Duffing-Holms模型，发掘新的序参量，应用OGY方法和非线性同步控制方法对其进行控制，并提出金融混沌的控制策略.OGY方法控制混沌只需对系统某一控制参数进行时变小摄动，就可以将混沌运动稳定到指定的周期运动上.这种方法使得控制金融复杂巨系统产出的混沌现象变得简单可行.非线性同步方法易于实现，并且收敛速度快.

1 Duffing-Holms模型及其序参量

Duffing-Holms模型是1918年Duffing在经典力学中引入的一个具有摆动的非线性方程，被认为具有混沌现象的典例，在金融市场上得到了广泛应用.Duffing-Holms模型能较准确地描述一个复杂系统在不同条件下的各种状态［14］，它的具体形式是：

+εδ+ax+bx3=εfcos (ωt)(1)

这是一个非自治的微分动力系统.其中x表示金融市场的状态，表示金融市场状态变化的速度，表示金融市场状态变化的加速度，δ表示政府对金融风险防范的能力，ε表示政策的控制参数，f表示投机扰动参数，ω表示外力的频率.

本文发现了该模型的序参量——外力频率参数ω.其他参数取定时，当ω=0时，金融市场受到恒定的外力干扰，市场处于稳定的状态，见图1，图中所有的轨道从初值出发，经过一段时间的迭代，系统逐渐收敛到一个平衡点.当ω≠0时，市场受到不断变化的外力的干扰时，系统会逐渐失去稳定，产生分岔，最终产生混沌，见图2.

2 OGY方法控制Duffing-Holms模型产生

的混沌

利用OGY方法对系统进行混沌控制的步骤有两步：首先要确定控制系统混沌的目标，也就是要找到系统的一个不动点或是一个周期轨道，然后是确定控制方法.一旦某个映射点进入前面指定的邻域内，就可以通过调节控制参数p的扰动，使得映射点稳定到周期轨道上来.本文首先给出系统（1）周期解存在的条件:

取初始值为［－1,0］，［-0.5,0］，［0,0］，［0.5,0］和［1,0］时，对Duffing-Holms模型利用OGY方法进行混沌控制后，得到的系统（10）的相图如图4所示.从图中可以看出，无论从哪个初值出发，首先会沿着各自的轨道运行，但一旦靠近目标轨道（也就是本文前面得出的模型一个周期解）的时候，轨道都会被目标轨道控制下来，在目标轨道附近运行.

3 非线性同步控制方法控制Duffing-

Holms模型产生的混沌

混沌同步的基本思想就是将一个混沌系统划分为两个子系统，将其中一个作为驱动系统，完全复制另外一个子系统并作为响应系统，然后将驱动系统的输出信号作为响应系统的输入信号.首先将Duffing-Holms模型改写成如下形式：

4 结 论

本文分别利用OGY方法和非线性同步控制方法控制Duffing-Holms模型，结果表明：根据OGY混沌控制方法的原理，只需要使用了微小的控制信号逐渐缓慢地控制混沌，并且系统在远离目标轨道时，原来的运行轨道并没有改变，这样就保留金融系统原有的动力学性质.对金融市场的混沌控制要进行长期的准备，在金融市场处于稳定，远离混沌状态的时候，政府监管层应该研究控制方案，对金融市场进行逐步调整；一旦金融市场失去稳定或是进入混沌状态，政府监管层就不要对金融制度进行大幅度调整，而是应该对政策进行微调，否则反而会加速市场混沌状态的扩散.

沪深股市同处于中国经济发展的大环境下，面对的是相同的投资大众，受着相同的因素的影响，它们有着相似的混沌动力学结构，比如相关维都在2－3之间，李雅普诺夫指数都大于零［16］.虽然它们的发展程度有所不同，但是可以确定一个市场为驱动系统，另一个为受控响应系统，利用非线性混沌同步控制方法对金融混沌系统进行控制, 可以控制两个市场的混沌，使得沪深股市的同步稳定地发展.

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