双曲丢番图方程正整数解数的估计及其应用

【摘要】随着我国科学技术的不断发展，在网络信息以及数字工程领域也取得了相当优异的成绩，作为现代科技的主要学科之一，对数学中函数及其方程的研究也显得更加具有实际意义，其作为教育过程中的传统学科，数学函数及其方程计算被广泛应用于农业、工业以及国防建筑等领域之中，并且在我国国民经济发展的过程中也发挥着越来越重要的作用，对于数学函数及其方程运算的灵活应用，在一定程度上可以满足人们生产过程中的数据整理需求。本文采用了逐步分析以及数学方程举例的方法对双曲丢番图方程正整数解数的估计及其应用进行分析研究，以期对数学函数及其方程运算的发展提供相应的帮助。

【关键词】双曲丢番图方程;正整数解数;估计;应用

前言：数学函数及其方程运算是现今社会工业及其他生产业所关注的热点之一，由于这项学科类技术的应用能够将生产效果通过数据的形式表达出来，所以一直以来也得到了国家的足够重视。数学领域的发展和工业社会是相互促进的，现今，由于我国的数学教学历史悠久，甚至可以追溯到几千年以前，所以在较长的时间内取得了相当大的进步，但随着时代的不断更新，如果想要数学函数及其方程运算能够顺应时代并且进一步的发展，就需要在数学函数及其方程运算研究方面做出更大的努力。

一、丢番图方程（Diophantine Equation）的概念

未知数个数对于方程个数的方程组或者方程被称为不定式方程，丢番图方程是不定式方程中的一种，主要针对整数解或者整系数有理解的一类方程，丢番图方程名称的由来是源自古希腊数学家丢番图（Diophantus）而得到的，不仅是数论的一个非常重要的分支，更是历史上数学领域最活跃的一个分支。在丢番图方程中，包含着很多不同种类的丢番图方程，由此，在对丢番图方程进行求解的时候，需要涉及到初等数论以及现今代数的多方面数学分支，具有一定的复杂性和严谨性。

二、理论研究

在这个系统中进行加减乘除的计算，去永远不会超出这些数字的范围以外，这个系统就大概的表示出我们所需要的全部了，但是数的历史不能止步于此，还有更加长远的发展道路要走。

但是有的理论即使是在最初等的几何领域也是不够用的，假设让我们来思考一个边长为一厘米的正方形，研究它的对角线的长度，我们就可以将这个数记为C由勾股定理原则它应该满足一定的数学公式，换种说法我们就要求解C2=2这个方程，这个数专门的称呼叫做2的平方根，记为C=12，这个数所代表的东西是一个近似的答案，但实际的事实却不尽人意，没有一个分数能够恰好的完全符合这样的无理性的数学条件，用现代的术语来说，12则属于无理数的类别，作为反驳事物而存在的，这就代表着它无法被恰好表示成为一个完整的分数[1]。

三、双曲丢番图方程正整数解数定理研究及结论

定理 基于丢番数方程有整数解的必要条件进行分析求解

根据相关已知条件，不失一般性设，那么且存在>0，>0。

假设有整数解的必要条件为。以下分析求解过程[2]。令

将

改为

根据相关文献所给的求解方法，方程的解集由整数的全部因子（含1和本身）决定[3]。

四、基于定理研究与结论的相关推论

从定理证明我们大致得到下面几个重要的推论。

推论，设k是指定正整数，6k-1、6k+1可视作孪生素数充分的必要条件可以看成是下面三个方程同一时间正整数解都没有的情况。

6xy+x+y=k，       （21）

6xy+x- y=k，       （22）

6xy- x- y=k。       （23）

证明 根据方程（6），方程（21）、（22）、（23）可以被分别写成下面几个方程形式：

（6x+1）（6y+1）=6k+1，

（6x- 1）（6y+1）=6k- 1，

（6x- 1）（6y- 1）=6k+1。

假使6k-1、6k+1都为素数，那么参考下后解方程（8）可以马上推出方程（21）、（22）、（23）都无正整数解。依据数论方面的知识，比如像6k+1数只能有像6x+1或者是偶数个形比如像6y-1的因子，像6k-1的数只可以像6x+1因子与奇数个形像6y-1这些因子[4]。

五、双曲丢番图方程正整数解数的估计及其应用发展讨论

（一）促进机械工程的模块化

由于数字化产品的生产厂家的逐渐增多，开发和研制具有标准动力接口、电气接口以及机械接口的数字化产品单元又是一个十分重要又非常复杂的工作，导致了功能模块化成为了一项重要而艰巨的工程，如研制将电机、减速以及智能调速集为一体的多功能动力数字化分析系统，以及能完成典型操作的各种机械装置的制造和成本预算，这样一来，就可以通过标准单元的数学函数运算尽快的开发出具有现实意义的新产品，与此同时也对生产规模进行了扩大。

（二）促进工程机械系统智能化

在科技不断发展的新时期，工程机械系统的智能化也是数学函数及其方程运算发展的一个重要发展方向，智能化系统指的是一种由人类专家和智能机器共同组成的人机一体化智能系统。在对这种系统具备推理、分析、构思、判断和决策等一系列智能活动的研究时加入了一定的数学函数及其方程运算的重要理论，由于在科学技术在不断地的探索研究中，人工智能越来越被人类专家所重视，这也导致数控机床的智能化与机器人也成为了数学函数及其方程运算应用发展中的明显代表。

基于以上两点来说，在对社会各领域发展的过程中，都有一定程度的对数学学科的应用，这就为双曲丢番图方程正整数解数的估计及其应用的发展打好了基础，相信在不久的将来，更多的双曲丢番图方程正整数解数的估计及其应用成果能够体现在人们的生活和生产中，得到进一步的完善与改进。

结论：近些年来，我国在网络信息以及数字工程领域取得了相当大的发展，并且伴随着科学技术的逐渐提升，数学学科技术逐渐的被应用在各行各业之中，在很大程度上促进了我国经济的增长，在生产过程中引进数学学科技术，能够将生产效率大大提高并且还能够对生产效果进行数字体现。正是由于数学学科技术的重要性，使得我国更加重视学校的数学学习教程，这就使得在数学函数及其方程运算方面，一批又一批的新人才被不断被培养，为我国各行各业的发展与创新，打下了良好的基础。

参考文献：

[1]王兴波.双曲丢番图方程正整数解数的估计及其应用[J].佛山科学技术学院学报（自然科学版），2014（03）：10-14.

[2]杜先存，万飞，杨慧章.关于丢番图方程X～3±1=1267y～2的整数解[J].数学的实践与认识，2013（15）：288-292.

[3]韩云娜.关于一类丢番图方程整数解的讨论与研究[J].西北大学，2011（06）：351-352.

[4]王兴波.双曲丢番图方程正整数解数的估计及其应用[J].佛山科学技术学院学报（自然科学版），2014（03）：10-14.