初中几何证明探源

【摘 要】本文主要是从逻辑的角度来探讨什么是几何的形式证明，以及如何来进行推理、构造证明的过程。首先引入了命题逻辑的初步知识，由此得到了相应的一些运算，利用这些相关概念以及运算探讨了什么是形式证明如何推理，最终从逻辑结构上弄清了证明的过程是一系列命题所组成的一个序列，并通过初中几何证明的具体实例加以证实。

【关键词】形式证明 命题 逻辑推理 序列

【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2014）04-0141-02

在初中阶段的数学学习过程中，几何知识是许多学生都倍感头痛的问题，尤其是几何证明。这是一个较为普遍的现象，其成因颇多，既有主观因素也不乏客观因素。不少同学在听老师讲课时基本能懂能接受，但要其证明时就出现了这样那样的问题，不是不会写证明过程，就是说不清理由；不是东扯西拉，就是前后衔接不上……还有就是想当然者——“我觉得就是这样的”；更有甚者，将举例说明和证明混为一谈，真可谓是“百花齐放”，诸如此，林林总总，本文不在此一一列举。

何谓证明？“一个命题的正确性需要经过推理，才能做出判断，这个推理过程叫做证明。”人教版，七年级下册21页，如是说。诚然，这不能说其不对，但也确实不够清楚。什么是“推理过程”？具体问题又该如何“推理”？从课本的这段话中，我们恐怕不易弄清以上问题。许多初学几何的初中生虽能朗朗上口地背诵定理，但却不能真正理解其含义，更谈不上对其的运用。那么，为何初中生都普遍觉得几何难学呢？问题究竟出在哪里？这些问题本文将稍后逐步探讨。

几何学是一门非常古老的学科，早在古希腊时期几何学就已经非常繁荣，比如欧式几何。时至今日，我们所学的初等几何基本上都是建立在经历了两千多年的欧式几何的基础之上的，由此可见其古老性之一斑。虽然几何学由来已久，并经过了数千年的积淀和研究，然而它仍然令一代又一代的学习者为之困惑，缘何？笔者认为，几何学之难（尤其是几何证明）关键在于其形式化的公理、定理、性质以及演绎推理等。所谓形式化，即是用一系列约定的符号（如逻辑符号）来表示概念、符号化命题以及推理，并将一定范围内的所有正确的推理形式（逻辑规律）都汇集在一个整体中。在此基础之上，由几条公理及公设出发，并规定一些初始符号和规则，经过有效的逻辑推理，得出若干新的、正确的、可靠的结论（即命题），这些命题的集合就形成一个公理系统，这就是形式化几何。初中几何主要研究的是平面几何的图形性质及其数量关系，在欧式几何的公理体系和框架下，早已经形成了许多有关平面几何的命题，但是教师在教学的过程中绝不能只告诉学生们一个结果，更多时候教师需要引导他们去探索并发现规律，总结和证明他们发现的规律，要证明就必然要弄清形式化的推理。

下面，本文就从数理逻辑的角度来探讨何谓推理？何谓证明？为此，需要介绍一些有关的数理逻辑概念和符号。

一 命题与逻辑运算符

定义1：具有确定真假性的陈述句称为命题。

凡是命题都有真值，命题的真值只有两种情况，即取自集合{0，1}，具体情况是：真命题的真值为1，假命题的真值为0。

定义2：具有唯一确定真值的陈述句称为命题。

要判断一个语句是不是命题，需要注意两点：一是先判断其是否为陈述句；其次是看其真值是否唯一确定，这两个条件缺一不可。例如，“x>5，x∈R”，该语句虽然是陈述句，但却无法判断真假。因为x是可变的，当x取3时，其为假命题；当x取7时，其为真命题。这类语句可称之为命题变元或称之为命题变量，值得注意的是命题变元不是命题，原因是其真值是可变的，时真时假。此外，还要特别注意像“我正在说谎话”这样的陈述句，这个语句无论你假设其真值为“1”还是“0”都会推出矛盾，这样的语句称之为悖论。在数学中比较著名的有“罗素悖论”。

通常命题可分为简单命题和复合命题，简单命题就是不能分解成更简单的陈述句的命题，简单命题也称为原子命题。复合命题就是除简单命题外的命题，复合命题也可以理解为是由逻辑运算符联结简单命题而成的。为了便于后面的讨论，本文约定用小写的英文字母p、q、r…表示命题或命题变元。

比较常用的逻辑运算符有5种：（1）“”称为否定运算符，读为“非”。（2）“”称为合取运算符，读为“且”或“与”。（3）“”称为合取运算符，读为“或”。（4）“”称为蕴含运算符，读为“蕴含”。（5）“”称为等价运算符，读为“等价”。

以上5种逻辑运算有其优先级，规定其优先顺序为：（）、、、、、，其中“（）”的意思是有（）的就先算，然后再按照、、、、的顺序来做运算，对于同一优先级的运算符，先出现者先算。

二 推理和证明

定义3：命题公式递归定义如下：（1）单个的命题常量或命题变量是命题公式；（归纳基）。（2）若A、B是公式，那么A、AB、AB、AB和AB也是命题公式；（归纳步）。（3）所有的命题公式都是有限次使用（1）和（2）得到的符号串；（最小化）。

在这里可以使用大小写英文字母表示命题公式，英文字母还可带下标。以后在没有二义的情况下，将命题公式简称为公式。命题逻辑的推理理论就是利用命题逻辑公式研究什么是有效的推理。

定义4：推理就是从前提集合开始演绎出结论的思维过程，前提集合是一系列已知的命题公式，结论是从前提集合出发应用推理规则推出的命题公式。

若前提是一系列真命题，并且推理中严格遵守推理规则，则推出的结论也是真命题。在命题逻辑中，主要研究推理规则。

定义5：称蕴含式（A1A2…An）B为推理的形式结构，A1，A2，…，An为推理的前提，B为推理的结论。若（A1A2…An）B为永真式，则称从前提A1，A2，…，An推出结论B的推理正确（或说有效），B是A1，A2，…，An的逻辑结论或称有效结论，否则称推理不正确。若从前提A1，A2，…，An推出结论B的推理正确，则记为（A1A2…An）B。

通俗地讲（A1A2…An）B即是说，若A1，A2，…，An都正确，则B也正确。清楚了什么是推理以及推理的结构后，下面来讨论什么是证明。

定义6：证明是一个描述推理过程的命题公式序列A1，A2，…，An，其中的每个命题公式或者是已知的前提，或者是由某些前提应用推理规则得到的结论，满足这样条件的公式序列A1，A2，…，An称为结论An的证明。

在证明中常用的推理规则有3条：（1）前提引入规则：在证明的任何步骤都可以引入已知的前提；（2）结论引入规则：在证明的任何步骤都可以引入这次已经得到的结论作为后续证明的前提；（3）置换规则：在证明的任何步骤上，命题公式中的任何子公式都可用与之等值的公式置换，得到证明的公式序列的另一公式。

以上是一些基本的逻辑推理规则，如何运用这些规则进行推理和证明呢？在定义6中可以看到，证明实质上就是要把已知的命题公式按照一定顺序排列起来，那么具体问题的证明要如何来将那些已知的条件、公理、定理、推论以及性质等（诸如此类在逻辑上都可视为命题公式）按照怎样的顺序来排列呢？下面，通过初中几何中的具体实例进一步体会理解证明的实质。

例如，已知：如图在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD=DB，AE=CF。

求证：DE=DF。

分析：由△ABC是等腰直角三角形可知，∠A=∠B=45°，由D是AB中点，可考虑连接CD，易得CD=AD，∠DCF=45°。从而不难发现△DCF≌△DAE。

证明：连接CD。

∵AC=BC；

∴∠A=∠B。

∵∠ACB=90°，AD=DB；

∴CD=BD=AD，∠DCB=∠B

=∠A。

∵AE=CF，∠A=∠DCB，AD=CD。

∴△DCF≌△DAE。

∴DE=DF。

上述证明的过程，实质上就是一个命题的序列，可以如下来看：（1）等腰三角形△ABC两腰相等（AC=BC）；（2）等腰三角形△ABC两底角相等（∠A=∠B）；（3）已知条件（∠ACB=90°，AD=DB）；（4）等腰三角形△DCB两腰及两底角相等；（5）等量减等量得等量（AE=CF），（4）得出的结论（∠A=∠DCB，AD=CD）；（6）三角形全等的判定定理SAS（△DCF≌△DAE）；（7）全等三角形对应边相等（DE=DF）。

这里的（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）不就是一个序列吗？并且序列中的（7）就是要证明的结论，其实所有的证明都是如此，只要按照逻辑的推理规则构造出一个包含证明结论的序列即可。那么，在这七步的序列中运用了哪些推理规则呢？（1）前提引入规则；（2）前提引入规则；（3）前提引入规则；（4）假言推理规则；（5）置换规则和结论引入规则；（6）假言推理规则；（7）假言推理规则。

数学能够非常有效地训练人的逻辑思维能力，它是其他学科无可替代的，而数学证明又是最为有效的途径，正如罗增儒先生所说，数学证明有助于获得新的体验、发现新的结论；有助于增进理解，只有清楚了一个命题的证明，才能真正理解该命题的内容。对于几何证明，首先应该弄清题意，明确证明方向即把握好题目的已知条件和要证明的结论，然后结合图形理清思路，把和本题有关的命题搜索出来，再来思考需要用到哪些定理，将其罗列出来，最后按照逻辑的思维方法把它们构造成一个包含要证明结论的序列，这就完成了证明的过程。

参考文献

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[5]罗增儒.数学证明的作用[J].中学数学教学参考，2001（5）

〔责任编辑：范可〕